cf1453F 二維DP 思維

原題連結

題意

目前我們有一個序列，在第i個點可以走到[i + 1, i + a[i]]區間內的任意一點（也就是說如果a[i]是0，路就走不通了）

現在要求我們將一些位置置零，使得從1走到n只有一條路徑。輸出最小置零數量，保證輸入有解。

思路

• 因為n<=3000，所以嘗試二維動態規劃。首先設計狀態是最重要的一步，我們定義 \(F_{i,j}\) 為從1到i僅有一條路徑，且路徑中的點最遠到達不超過j，這種情況下的最小置零個數。
• 那麼顯然 \(F_{1,j}\) 全為0，答案為 \(F_{n,n}\)
• 從2開始計算，對於當前的i，我們列舉i - 1 ~ 1的所有點，如果有 \(j + a_j \ge i\)
  ，那麼我們當前的 \(F_{i,j + a_j}\)就是可以更新的, 轉移方程如下

其中cnt是從j + 1到i - 1所有的點中，能夠到達i的點的數量（就是說這些cnt個點都需要置零）,由於我們是從i - 1到1的順序列舉的，所以cnt可以順帶記錄

AC程式碼

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;

int ff[3005][3005], aa[3005];
int t, n; 

int main()
{
	scanf("%d", &t);
	while (t--)
	{
		scanf("%d", &n);
		for (int i = 1; i <= n; ++i)
		{
			scanf("%d", &aa[i]);
			for (int j = 1; j <= n; ++j)
			{
				ff[i][j] = 99999999;
			}
		}
		for (int i = 1; i <= n; ++i)
		{
			ff[1][i] = 0;
		}
		for (int i = 2; i <= n; ++i)
		{
			int cnt = 0;
			for (int j = i - 1; j >= 1; --j)
			{
				if (j + aa[j] >= i)
				{
					ff[i][j + aa[j]] = min(ff[i][j + aa[j]], ff[j][i - 1] + cnt);
					++cnt;
				}
			}
			for (int j = i + 1; j <= n; ++j)
			{
				ff[i][j] = min(ff[i][j - 1], ff[i][j]);
			}
		}
		printf("%d\n", ff[n][n]);
	}
	return 0;
}