Lyndon 串

其嚴格最小字尾為其本身的串，稱為 \(Lyndon\) 串，也就是 \(s\) 是其所有迴圈移位中嚴格最小的。

\(s,t\) 都為 \(Lyndon\) 串是，且 \(s<t\)，則 \(st\) 也為 \(Lyndon\) 串。證明 \(t>st\) 後即可證明該性質。

Lyndon 分解

\(Lyndon\) 分解為將 \(s\) 分解得 \(s=s_1s_2s_3 \dots s_k\)，且 \(s_i \geqslant s_{i+1}\)，\(Lyndon\) 分解是存在且唯一的。

存在性由 \(Lyndon\) 串的性質不難得到，唯一性可以用反證法來證明。

Duval 演算法

\(Duval\) 演算法可以 \(O(n)\) 求出一個串的 \(Lyndon\) 分解。

對於字串 \(s\) 和字元 \(c\)，若 \(sc\) 是某個 \(Lyndon\) 串的字首，則對於字元 \(d>c\) 有 \(sd\) 是 \(Lyndon\) 串。

維護三個指標 \(p,i,j\)。\([1,p-1]\) 是已經進行完 \(Lyndon\) 分解的部分，\([p,j-1]\) 為 \(s_1s_2s_3 \dots s_kt\)，其中 \(t\) 可以為空串，且 \(s_1\) 是 \(Lyndon\) 串和 \(s_1=s_2= \dots =s_k\)

當前加入字元 \(s_j\)，令 \(i=j-|s_1|\)，即為 \(t\) 在迴圈串對應的位置。進行分類討論：

當 \(s_i=s_j\) 時，\(t\) 能繼續匹配，讓 \(i,j\) 都向後移動一個位置。

當 \(s_i<s_j\) 時，得 \(s[p,j]\) 為 \(Lyndon\) 串，將 \(i\) 移動到 \(p\)，\(j\) 向後移動一個位置。

當 \(s_i>s_j\) 時，得 \(s_1s_2s_3 \dots s_k\) 為分解後的串，然後繼續考慮 \(t\)

因為 \(p\) 只向後移動，\(j\) 向前移動的距離不超過 \(p\) 向後移動的距離，所以複雜度為 \(O(n)\)。

while(p<=n)
{
    int i=p,j=p+1;
    while(j<=n&&s[i]<=s[j]) i=s[i]==s[j++]?i+1:p;
    while(p<=i) p+=j-i,ans^=p-1;
}

這段程式碼求的是 \(Lyndon\) 分解所有右端點的異或和。

應用

求解最小迴圈表示，\(O(n)\) 對所有 \(s[1,i]\) 求最小最大字尾。