被綠的小華

題目大意就是給出一個01串表示的二進位制數是否為3的倍數。

方法1：暴力

直接用快速冪暴力求解，求解的過程中同時模3。

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<string>
 4 #include<cstring>
 5 #include<algorithm>
 6 #include<cmath>
 7 #define MAXN 10000
 8 #define int long long
 9 #define mod 3
10 using namespace
 
 std;
11 int n,m,ans=0;
12 int a[MAXN];
13 inline int pow_(int x,int n){
14     int cnt=1;
15     while(n){
16         if(n&1)
17             cnt=cnt*x%mod;
18         x=x*x%mod;
19         n>>=1;
20     }
21     return cnt%mod;
22 }
23 signed main()
24 {
25     string s;
26     cin>>s;
 
27     for(int i=s.size()-1,j=0;i>=0;i--,j++){
28         if(s[i]=='1'){
29             ans=ans+pow_(2,j);
30             ans%=mod;
31         }
32     }
33     if(ans==0) cout<<"Y"<<endl;
34     else cout<<"N"<<endl; 
35     return 0;
36 }

方法2：數學

二進位制數的奇數位1的個數與偶數位1的個數的差能被3整除，則這個數是3的倍數。

證明：

對於二進位制數的偶數位：

2^0%3=1;

2^2=2^0*4;

2^2%3=(2^0%3)*(4%3)=(2^0%3)*1=2^0%3=1;

則2^2%3==2^0%3;

2^4%3=(2^2%3)*(4%3)=(2^2%3)*1=2^2%3=2^0%3=1;

則2^4%3==2^2%3==2^0%3;

以此類推

(2^2n)%3=2^(2(n-1))%3*(4%3)=2^(2(n-1))%3*1=2^(2(n-2))%3*(4%3)……=2^(2(n-n))%3*4%3=2^0*(4%3)=2^0*1=1*1;

得(2^2n)%3=2^0*1=1;

而二進位制數的奇數位同理可證得(2^(2n+1))%3=2^1%3=2;

從而得出一個二進位制數的奇數位%3為2，二進位制數的偶數位%3為1;

奇數位1的個數與偶數位1的個數的差有兩種情況：

（1）奇數位1的個數與偶數位1的個數相等；

若一個二進位制數有n個奇數位的1，m個偶數位的1，且n=m，由上面證得的結論可知二進位制數的奇數位%3為2，偶數位%3為1；

則這個二進位制數%3的值為n(1+2)%3=3n%3=0，這個二進位制數能被3整除；

（2）奇數位1的個數與偶數位1的個數不等；

若一個二進位制數有n個奇數位的1，m個偶數位的1，且n>m，由上面證得的結論可知二進位制數的奇數位%3為2，偶數位%3為1；

則這個二進位制數%3的值為m(1+2)%3+(n-m)*2%3，若n-m%3==0，則(n-m)*2%3==0，可得結論若奇數位的1大於偶數位的1的個數且個數差為3的倍數，則該二進位制數是3的倍數;

若一個二進位制數有n個奇數位的1，m個偶數位的1，且n<m，由上面證得的結論可知二進位制數的奇數位%3為2，偶數位%3為1；

則這個二進位制數%3的值為n(1+2)%3+(n-m)*1%3，若n-m%3==0，則(n-m)*1%3==0，可得結論若奇數位的1小於偶數位的1的個數且個數差為3的倍數，則該二進位制數是3的倍數;

綜上所述可證得：二進位制數的奇數位1的個數與偶數位1的個數的差能被3整除，則這個數是3的倍數。