時間複雜度介紹

阿新 • • 發佈：2020-12-18

時間複雜度

O ( 1 ) O(1) O(1)

首先你必須明確一個概念， O ( 1 ) O(1) O(1) 只是常量級時間複雜度的一種表示方法，並不是指只執行了一行程式碼。比如這段程式碼，即便有 3 行，它的時間複雜度也是 O ( 1 ） O(1） O(1），而不是 O ( 3 ) O(3) O(3)。

int i = 8;
int j = 6; 
int sum = i + j;

只要程式碼的執行時間不隨 n 的增大而增長，這樣程式碼的時間複雜度我們都記作 O(1)。或者說，一般情況下，只要演算法中不存在迴圈語句、遞迴語句，即使有成千上萬行的程式碼，其時間複雜度也是Ο(1)。

O ( l o g n ) O(logn) O(logn)、 O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)

對數階時間複雜度非常常見，同時也是最難分析的一種時間複雜度。我通過一個例子來說明一下。

i=1;

while (i <= n)
    { 
        i = i * 2; 
    }

根據我們前面講的複雜度分析方法，第三行程式碼是迴圈執行次數最多的。所以，我們只要能計算出這行程式碼被執行了多少次，就能知道整段程式碼的時間複雜度。

從程式碼中可以看出，變數 i 的值從 1 開始取，每迴圈一次就乘以 2。當大於 n 時，迴圈結束。還記得我們高中學過的等比數列嗎？實際上，變數 i 的取值就是一個等比數列。如果我把它一個一個列出來，就應該是這個樣子的：

所以，我們只要知道 x x x 值是多少，就知道這行程式碼執行的次數了。通過 2 x = n 2x=n 2x=n 求解 x x x 這個問題我們想高中應該就學過了，我就不多說了。 x = l o g 2 n x=log_2n x=log2n，所以，這段程式碼的時間複雜度就是 O ( l o g 2 n ) O(log_2n) O(log2n)。

現在，我把程式碼稍微改下，你再看看，這段程式碼的時間複雜度是多少？

i=1; 
while (i <= n) 
    { 
        i = i * 3; 
    }

根據我剛剛講的思路，很簡單就能看出來，這段程式碼的時間複雜度為 O ( l o g 3 n ) O(log_3n)

O(log3n)。

實際上，不管是以 2 為底、以 3 為底，還是以 10 為底，我們可以把所有對數階的時間複雜度都記為 O ( l o g n ) O(logn) O(logn)。為什麼呢？

我們知道，對數之間是可以互相轉換的， l o g 3 n log_3n log3n 就等於 l o g 3 2 ∗ l o g 2 n log_32 * log_2n log32∗log2n，所以 O ( l o g 3 n ) = O ( C ∗ l o g 2 n ) O(log_3n) = O(C * log_2n) O(log3n)=O(C∗log2n)，其中 C = l o g 3 2 C=log_32 C=log32 是一個常量。基於我們前面的一個理論：在採用大 O 標記複雜度的時候，可以忽略係數，即 O ( C f ( n ) ) = O ( f ( n ) ) O(Cf(n)) = O(f(n)) O(Cf(n))=O(f(n))。所以， O ( l o g 2 n ) O(log_2n) O(log2n) 就等於 O ( l o g 3 n ) O(log_3n) O(log3n)。因此，在對數階時間複雜度的表示方法裡，我們忽略對數的“底”，統一表示為 O(logn)。

如果你理解了我前面講的 O ( l o g n ) O(logn) O(logn)，那 O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn) 就很容易理解了。還記得我們剛講的乘法法則嗎？如果一段程式碼的時間複雜度是 O ( l o g n ) O(logn) O(logn)，我們迴圈執行 n 遍，時間複雜度就是 O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn) 了。而且， O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn) 也是一種非常常見的演算法時間複雜度。比如，歸併排序、快速排序的時間複雜度都是 O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)。

O ( m + n ) 、 O ( m ∗ n ) O(m+n)、O(m*n) O(m+n)、O(m∗n)

我們再來講一種跟前面都不一樣的時間複雜度，程式碼的複雜度由兩個資料的規模來決定。

int cal(int m, int n) {
  int sum_1 = 0;
  int i = 1;
  for (; i < m; ++i) {
    sum_1 = sum_1 + i;
  }

  int sum_2 = 0;
  int j = 1;
  for (; j < n; ++j) {
    sum_2 = sum_2 + j;
  }

  return sum_1 + sum_2;
}

從程式碼中可以看出，m 和 n 是表示兩個資料規模。我們無法事先評估 m 和 n 誰的量級大，所以我們在表示複雜度的時候，就不能簡單地利用加法法則，省略掉其中一個。所以，上面程式碼的時間複雜度就是 O ( m + n ) O(m+n) O(m+n)。

針對這種情況，原來的加法法則就不正確了，我們需要將加法規則改為： T 1 ( m ) + T 2 ( n ) = O ( f ( m ) + g ( n ) ) T1(m) + T2(n) = O(f(m) + g(n)) T1(m)+T2(n)=O(f(m)+g(n))。但是乘法法則繼續有效： T 1 ( m ) ∗ T 2 ( n ) = O ( f ( m ) ∗ f ( n ) ) T1(m)*T2(n) = O(f(m) * f(n)) T1(m)∗T2(n)=O(f(m)∗f(n))。

轉自《資料結構與演算法之美》

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