【資料結構】棧
基礎知識
關於棧你需要知道的基礎知識：
- LIFO（後進先出的線性表）
- 通常使用順序表表示棧（方便定位）
- 常用操作：push（入棧），pop（出棧），empty（判斷是否為空），top（取棧頂）
手寫棧
許多情況下我們可以使用C++STL庫的#include棧，但我們仍要學會手寫棧。
- 初始化操作InitStack(SqStack &S)
//構造空棧S S.base=(ElemType*)malloc(STACK_INIT_SIZE*sizeof(ElemType)); //為順序棧動態分配儲存空間 if(!S.base)exit(OVERFLOW); S.top=S.base; S.stacksize=STACK_INIT_SIZE; return OK;
- 銷燬棧操作DestroyStack(SqStak &S)
//若未分配棧空間
if(!S.base)return ERROR;
free(S.base);//回收棧空間
S.base=S.top=NULL;
S.stacksize=0;
return OK;
3.置空棧操作ClearStack(SqStack &S)
//若未分配棧空間
if(!S.base)return ERROR;
S.top=S.base;
return OK;
4.取棧頂元素GetTop(SqStack S,ElemType &e)
//棧空 if(S.top==S.base)return ERROR; e=*(S.top-1); return OK;
5.進棧操作Push(SqStack &S,ElemType e)
if ( S.top-S.base >= S.stacksize ) // 若棧滿則追加儲存空間 { S.base = (ElemType * ) realloc( S.base, ( S.stacksize + STACK_INCREMENT ) * sizeof( ElemType ) ); if ( ! S. base )exit(OVERFLOW); //儲存分配失敗 S.top = S.base + S.stacksize; S.stacksize += STACK_INCREMENT; } * S.top ++ = e;//元素e 插入棧頂，後修改棧頂指標 return OK;
6.出棧操作Pop(SqStack &S,ElemType &e)
if(S.top==S.base)return ERROR;//棧空
e=*--S.top;
return OK;
備註：
棧空：top==base
棧滿：top-base==STACKSIZE
出棧序列
判斷出棧序列
已知入棧序列，判斷出棧序列是否正確。無論是手寫判斷，還是程式碼實現，原理均為：
- 依據給定的出棧序列，在每次將入棧序列中的元素壓入棧之後嘗試進行出棧（出棧直到棧頂!=即將出棧元素為止），若最終所有元素都能成功出棧（棧大小為0），則出棧序列合法。
- 程式碼實現中，設定一個指標，每次成功出棧後，指向下一個即將出棧的元素。
卡特蘭數
一個棧進棧序列為1,2,3……n，問可能的出棧序列有多少個？
- 結論：C(2n,n)/(n+1)=(2n!)/(n!*n!)/(n+1)
- 推導：
#輸出序列的總數目=由左而右掃描由n個1和n個0組成的2n位二進位制數，其中：任何一個位置上之前出現的1的累計數不小於0的累計數的方案種數。
#所以有一半的方案不可行
輸出序列總數目：C(2n,n)-C(2n,n+1)=C(2n,n)/(n+1)
應用
數制轉換
題目：對於輸入的任意一個非負十進位制整數，列印輸出與其等值的八進位制數。
思路：計算過程是由低位到高位順序產生八進位制數的各個數位，而列印輸出恰好與計算過程相反。
stack <int>S;
int N;
void conversion()
{
while(!S.empty())S.pop();
cin >> N;
while(N)
{
S.push(N%8);
N=N/8;
}
while(!S.empty())
{
cout << S.top();
S.pop();
}
}
括號匹配
題目：給定一串括號序列，判斷其是否正確匹配。
思路：設定一個棧，每讀入一個括號：
- 若是右括號：要麼與棧頂對應的左括號抵消，要麼不匹配。
- 若是左括號：入棧。
- 若棧在開始、結束時都為空，則合法匹配。
表示式求值
波蘭表示式
*後續將專門開一個帖子補充。
算符優先演算法
遇運算元——儲存；
遇運算子號aj——與前面的剛掃描過的運算子ai比較：
- 若ai<aj 則儲存aj。（因此已儲存的運算子的優先關係為a1<a2<a3<a4…）
- 若ai>aj 則說明ai是已掃描的運算子中優先順序最高者，可進行運算。
- 若ai=aj 則說明括號內的式子已計算完，需要消去括號。
棧與遞迴
漢諾塔問題
- 遞迴實現：
// 遞迴實現漢諾塔
// n 為漢諾塔圓盤編號，從小到大為 1，2，3，……
void hanoi(int n, char A, char B, char C) {
if(n == 1) {
printf("%c -> %c\n", A, C); // 如果只有一個盤子，從 A 直接移動到 C
}else {
hanoi(n-1, A, C, B); // A 上的盤子，以 C 為輔助，移動到 B
hanoi(1, A, B, C); // 移動 A 上的最大的盤子到 C 上
hanoi(n-1, B, A, C); // 將 B 上的盤子以 A 為輔助，移動到 C
}
}
- 非遞迴實現（棧）
// 儲存函式狀態
struct Status {
int n;
char start, mid, end; // 初始塔，輔助中間塔，最終要移動到的塔
Status(int _n, char _A, char _B, char _C): n(_n), start(_A), mid(_B), end(_C) {}
};
// 採用非遞迴實現漢諾塔問題
// 由於棧的特殊性質，FILO，所以我們需要將原來函式的呼叫方式反過來進行
void hanoiStack(int n, char A, char B, char C) {
stack<Status> myS;
myS.push(Status(n, A, B, C));
while (!myS.empty())
{
Status ns = myS.top();
myS.pop();
if(ns.n == 1) {
printf("%c -> %c\n", ns.start, ns.end);
}else {
myS.push(Status(ns.n-1, ns.mid, ns.start, ns.end));
myS.push(Status(1, ns.start, ns.mid, ns.end));
myS.push(Status(ns.n-1, ns.start, ns.end, ns.mid));
}
}
}
參考連結：
- 漢諾塔問題的非遞迴實現及其思考：https://www.cnblogs.com/veeupup/p/12613921.html
- 組合數學角度：https://zhuanlan.zhihu.com/p/36085324
- 處理首尾遞迴：https://www.cnblogs.com/blogzcan/p/7485372.html
迷宮問題
思路：從每一個位置出發，下一步都有四種選擇（上右下左），先選擇一個方向，如果該方向能夠走下去，那麼就往這個方向走，當前位置切換為下一個位置。如果不能走，那麼換個方向走，如果所有方向都走不了，那麼退出當前位置，到上一步的位置去，當前位置切換為上一步的位置。一致這樣執行下去，如果當前位置是終點，那麼結束。如果走過了所有的路徑都沒能到達終點，那麼無解。
8皇后問題
問題：八皇后問題，是一個古老而著名的問題，是回溯演算法的典型案例。該問題是國際西洋棋棋手馬克斯·貝瑟爾於1848年提出：在8×8格的國際象棋上擺放八個皇后，使其不能互相攻擊，即任意兩個皇后都不能處於同一行、同一列或同一斜線上，問有多少種擺法。 高斯認為有76種方案。1854年在柏林的象棋雜誌上不同的作者發表了40種不同的解，後來有人用圖論的方法解出92種結果。計算機發明後，有多種計算機語言可以解決此問題。
思路：
- 從棋盤的第一行開始，從第一個位置開始，依次判斷當前位置是否能夠放置皇后，判斷的依據為：同該行之前的所有行中皇后的所在位置進行比較，如果在同一列，或者在同一條斜線上（斜線有兩條，為正方形的兩個對角線），都不符合要求，繼續檢驗後序的位置。
- 如果該行所有位置都不符合要求，則回溯（跳出這一層遞迴，即出棧）到前一行，改變皇后的位置，繼續試探。
- 如果試探到最後一行，所有皇后擺放完畢，則直接打印出 8*8 的棋盤。最後一定要記得將棋盤恢復原樣，避免影響下一次擺放。