芝士：字尾自動機(SAM)
背景
考慮能否有一種資料結構能接受一個固定字串所有的子串
雖然其的名稱為字尾自動機（SAM）
原理
考慮**每一個子串 **有一個集合\(endpos\)，表示為這個子串在哪些位置上出現過，將這些位置的最後一個字元所匹配的位置拿出來
比如\(aababa\)，其中\(ba\)的\(endpos=\{4,6\}\)，
我們稱每一個\(endpos\)為一個類
引理1
如果有一個子串\(t\)和一個子串\(s\)，如果\(endpos_t\in endpos_s\)，那麼一定有\(s\)是\(t\)的一個字尾，這應該很容易理解吧
引理2
規定\(len_s<len_t\)
將引理1反過來，如果\(s\)
反之，如果\(s\)不是\(t\)的一個字尾，那麼$endpos_t\bigcap endpos_s=\varnothing $
考慮反證法，如果\(s\)不是\(t\)的一個字尾，且\(endpos_t\bigcap endpos_s\neq \varnothing\)
設\(endpos_t\bigcap endpos_s=A\)
那麼如果在\(A_i\)位置兩者的\(endpos\)是一樣的，那麼\([A_i-len_t+1,A_i]\)即為\(t\),\([A_i-len_s+1,A_i]\)
引理3
對於相同的\(endpos\)，考慮設其中長度最小的一個為\(s\)，最長的一個為\(t\)
這裡單獨將\(t\)拿出來，只有這裡的下標是以t為基準
那麼有\(\forall i\in [1,len_t-len_s+1]\)，有\([i,len_t]\)的\(endpos\)和\(t\)的\(endpos\)是一樣的
比如對於一個任意的類，其中最長的為\(aababbb\)，最短的為\(bbb\)
那麼\(aababbb,ababbb,babbb,abbb,bbb\)，這5個子串的\(endpos\)是相同的
引理4
\(endpos\)不同的類最多隻有\(n\)個（這裡指的是\(n\)級別）
對於一個等價類，考慮往前面加只加一個字元，必然會導致\(endpos\)裂開
但是可以保證的是，所有裂開之後的\(endpos\)是沒有交集的，同時，這些$endpos \(中的值一定是來源於原來的\)endpos$，
基於此，如果有兩個\(endpos_s\)和\(endpos_t\)，滿足\(endpos_s\bigcap endpos_t=\varnothing\),那麼其裂出來的\(endpos\)之間一定是兩兩之間交集為空
也就是指對於子串的變化，實際上就是將\(endpos\)進行分裂
最初的\(endpos\)為\(\{1,2\ldots n\}\)，空串
利用線段樹的思想，很容易得到其所有的節點數不超過\(2n\)
也就是指不同\(endpos\)不會超過\(2n\)
引理5
考慮一個\(endpos\)的最長的字串長度為\(max\)，其最短的字串長度為\(min\)
那麼有\(min_u=max_{fa_u}+1\)，這裡的邊是指的是用引理4中提到的裂開和沒裂開的\(endpos\)之間的連邊
這應該也是顯然的吧
現在考慮怎麼去完成一個自動機應該有的功能，即能接受所有的子串
考慮現在已經將\(endpos\)將整個樹建了起來
比如原串為\(abaaab\)
也許長成這個樣子
其中點表示\(endpos\)的集合
考慮新增一些邊進去，使得到節點u的路徑都覆蓋所有的\(endpos\)所代表的字串，可以證明，其增加的邊數也是\(n\)級別的，
證明：@！（#@！*（……%！（@#
實際上是因為直接筆者聽證明的時候。。。。。
構造
好，現在已經知道了SAM大概的原理了，現在考慮怎麼在一個優秀的時間複雜度內構造出SAM，
不會吧，不會真的有人想用上面的原理直接構造吧
根據巨佬們的一次次的探索，SAM大概長成這個樣子
最下面的一行節點表示所有的字首
現在考慮，
如果巨佬給了你一個按\([1,n-1]\)已經建好的SAM，現在你怎麼新增一個字串進去，使其依然是一個SAM，
考慮到上面所說的原理，這裡只討論最基本的自動機
每一個點需要維護3個資訊，\(tre[i].len,tre[i].fa,tre[i].ch[]\)
這裡的fa陣列是用endpos建出來的樹的邊
這裡的ch陣列才是SAM上的邊
其中\(len\)表示最長的符合\(endpos\)的子串，\(fa\)就直接表示父親節點，\(ch[]\)表示當前節點後面添加了字元\(c\)，下一個節點會達到哪裡
我們考慮利用最下面一行的進行構造
設上一次的字首為\(las\)
從\(las\)往上的節點的\(endpos\)一定包含\(n-1\)，考慮在最後新加一個節點，這些節點如果沒有字元為\(c\)的都必須連一條邊過來
情況1
如果這條鏈上所有的節點都沒有字元\(c\)的兒子，那麼說明新加節點一定會構成一個新的類，故直接連上去就行了，只需要改\(fa\)就行了
情況2
設當前的節點為\(p\)，其連出去的邊為\(q\)
如果\(tre[p].len+1==tre[q].len\)
這個時候直接連上去就行了，同樣的，只改\(fa\)
情況3
設當前的節點為\(p\)，其連出去的邊為\(q\)
如果\(tre[p].len+1\neq tre[q].len\)
意味著，我們需要將\(q\)這個節點裂開
同時將一些節點的\(ch\)改掉
程式碼
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<queue>
using namespace std;
namespace SAM
{
struct node
{
int fa;
int len;
int ch[30];
node()
{
memset(ch,0,sizeof(ch));
}
}tre[2000005];
int las=1,tot=1;
int dp[200005],d[200005];
int getf(char c)
{
return c-'a'+1;
}
void add(int c)
{
int p=las;
int np=las=++tot;
dp[tot]=1;
//cout<<"bas:"<<tot<<'\n';
tre[np].len=tre[p].len+1;
for(;p&&!tre[p].ch[c];p=tre[p].fa)
tre[p].ch[c]=np;
if(!p)
{
tre[np].fa=1;
return;
}
else
{
int q=tre[p].ch[c];
if(tre[q].len==tre[p].len+1)
{
tre[np].fa=q;
return;
}
else
{
int nq=++tot;
tre[nq]=tre[q];
tre[nq].len=tre[p].len+1;
tre[q].fa=tre[np].fa=nq;
for(;p&&tre[p].ch[c]==q;p=tre[p].fa)
tre[p].ch[c]=nq;
}
}
}
long long getdp()
{
queue<int> q;
for(int i=1;i<=tot;i++)
d[tre[i].fa]++;
for(int i=1;i<=tot;i++)
if(d[i]==0)
q.push(i);
while(!q.empty())
{
int t=q.front();
q.pop();
int v=tre[t].fa;
dp[v]+=dp[t];
d[v]--;
if(d[v]==0)
q.push(v);
}
long long ans=0;
for(int i=1;i<=tot;i++)
if(dp[i]!=1)
ans=max(ans,1ll*dp[i]*tre[i].len);
return ans;
}
}
using namespace SAM;
char s[1000005];
int lens;
int main()
{
cin>>(s+1);lens=strlen(s+1);
for(int i=1;i<=lens;i++)
add(getf(s[i]));
cout<<getdp();
return 0;
}