(暫時還沒有寫完)
網路流屬於圖論的一部分，一般OI上涉及到的網路流的部分只有最大流和費用流。

前置知識

有向圖 \(G = (V,E)\) 就叫做一個網路，每條有向邊有一個屬性 $c(x, y) $ 叫做邊 \((x, y)\) 的容量，即這條邊最多所能容納的流量，一般來說在一個網路中還有兩個特殊的點，源點 \(s\) 和 匯點 \(t\)。

網路流中有一個非常重要的函式 \(f(x, y)\)，它表示流經邊 \((x, y)\) 的流量數值，因此它叫做網路的流函式。

流函式的三大性質

1. 容量限制
   即流量不能大於容量，即 \(f(x, y) <= c(x, y)\)。
2. 斜對稱
   雖然我不知道為啥叫做斜對稱，簡單的來說，我們對於一條有向邊 \((x, y)\)
   ，總是有一條它的反向邊 \((y, x)\)，並且如果邊 \((x, y)\) 的流量為 \(flow\)，那麼反向邊 \((y, x)\) 的流量為 \(-flow\)。

原因：其實加反向邊的過程就相當於你有了反悔的機會，讓網路流的正確性得到保證，當然初學的話只需要記住別忘了加反向邊就可以。

3. 流量守恆
   通俗的說就是源點流出的流量等於匯點接入的流量，即除了源點與匯點，別的點不產生流量，它們只是流量的搬運工。

偷 rvalue 學長的一句話：想象一個不可壓縮的流體的運輸管網, 每個管道都有防倒流閥門 (保證有向) , 每個管道還有一個單位時間內的流量限制, 那就是一個網路流模型的樣子了。

最大流

通俗的說就是源點到匯點的最大流量。
求最大流的方法有很多，這裡只講 EK 和 Dinic 兩種方法，而且一般來說最大流都是寫 Dinic，講 EK 只是為費用流做基礎。

EK 增廣路演算法

首先定義剩餘容量為邊的容量減去當前的流量的剩下的值（感性理解）。
定義一條增廣路就是從 \(s\) 到 \(t\) 的一條路徑上每條邊的剩餘容量都大於 0 的路徑。
很顯然增廣路是可以對最大流做出貢獻的，那麼演算法的流程已經出來了，每次找增廣路，然後更新就可以了。

對於斜對稱的處理：顯然如果一條邊的剩餘容量減少 \(x\)，那麼它的反向邊的剩餘容量就應該增加 \(x\)，所以我們可以利用成對變換的方法，邊表的 \(cnt\)

網路流不大需要分析複雜度，因為一般是非常跑不滿的，但是 EK 演算法的極限複雜度是 \(O(nm^2)\)，但是在實際問題上跑個幾千個點的資料一般沒有什麼問題（邊與點同階）。

放個程式碼吧：

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
const int N = 205, M = 1e4 + 5;
inline int read(int x = 0) { return scanf("%d", &x), x; } 
ll maxflow;//最大流
int n, m, s, t, head[N], cnt = 1, vis[N], pre[N], incf[N], q[N];
struct edge { int to, next, w; } e[M];
inline void add(int x, int y, int z) {
    e[++cnt] = (edge){y, head[x], z}, head[x] = cnt;
}
bool bfs() {//尋找增廣路
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    int l = 1, r = 0;
    q[++r] = s, vis[s] = 1, incf[s] = 0x3f3f3f3f;
    while(l <= r) {
        int u = q[l++];
        for(register int i = head[u], v; i; i = e[i].next) {
            if(vis[v=e[i].to] || e[i].w <= 0) continue;
            incf[v] = std::min(incf[u], e[i].w);
            pre[v] = i;//pre記錄這條邊的標號，便於找到具體方案
            q[++r] = v, vis[v] = 1;
            if(v == t) return 1;
        }
    }
    return 0;
}
void update() {//更新操作
    int u = t;
    while(u != s) {
        int i = pre[u];
        e[i].w -= incf[t], e[i^1].w += incf[t];
        u = e[i^1].to;
    }
    maxflow += incf[t];
}
int main() {
    n = read(), m = read(), s = read(), t = read();
    for(register int i = 1, x, y, z; i <= m; ++i) 
        x = read(), y = read(), z = read(), add(x, y, z), add(y, x, 0);//建雙向邊，且反向邊的容量設成0
    while(bfs()) update();
    printf("%lld\n", maxflow);
    return 0;
}

Dinic 演算法

Dinic演算法才是用的最多的。
我們發現 EK 演算法每次只是更新一條增廣路，嚴重增大了它的複雜度，而 Dinic 演算法是一次可以更新多條增廣路，即多路增廣。