多維偏序

https://www.cnblogs.com/Miracevin/p/9426812.html
一般情況下，我們比較一個數大小，就是ai>aj即可，

而在上升子序列中，當i>j並且ai>aj的時候，才可以認為i這位的數大於j這位的數。

這就是一個二維偏序。

類似的，有n個數，每個數m個屬性，一個數比另一個數大，當且僅當這個數的所有屬性都大於另一個數。

這就是一個m維偏序。

對於三維偏序，可以用cdq分治、排序、樹狀陣列處理。

luogu P3810
Description：
有 n 個元素，第 i 個元素有 ai​ 、bi​ 、ci​ 三個屬性，設 f(i) 表示滿足 aj​≤ai​ 且bj​≤bi​ 且cj​≤ci​ 的 j 的數量。

對於d∈[0,n) ，求 f(i) = d的數量

Solution：
三維偏序的模板題。

我們先按照a從小到大排序，

然後cdq分治。

先遞迴到兩邊，

回溯到這一層之後，把左兒子的所有的數按照b排序，右兒子的所有數也按照b排序。

這樣，左兒子的數之間雖然a不一定遞增，但是因為開始按照a排序，所以左邊所有的數的a一定都小於右邊的數。

b排好序之後，

兩個指標j，i分別從1~mid，mid+1~r 即左右兒子區間的起止點開始走，，

對於右邊的一個數i，當j的數的b值不大於i的b值時，不斷向後走j，並且把這些數的c值放進一個權值樹狀數組裡，

當j的b值大於i之後，當前所有左兒子裡面，b小於i這個數的數的c屬性都放進樹狀數組裡了。

只有放進去的這些數才可能來更新f值。

在i向後走之前，f[a[i].ans]+=query(a[i].z),滿足第三個條件的數也找到了。

就把所有當前這個層裡面，符合條件的數都找出來了。

最後，把樹狀陣列加上的 1都消去。

由於cdq分治，會把i之前的所有的數都分成logn個區間，更新完f[i]了。

大家可以手動畫圖，或者模擬一下。

複雜度：nlogn^2

那麼，這個演算法是怎麼樣實現三維偏序的處理呢？

1.對於a，開始直接排序，並且，每次是先遞迴左右兒子，再處理這一層，

所以保證一個數pi前面的所有的數，不論之後怎麼換位置，都不會到i的後面。

這就利用位置保證了所有可能更新f[i]的數對於a都是合法的。

2.對於b，我們每次回溯的時候，按照b排了一個序，

對於左子區間對右子區間的影響，通過指標，把b小於等於i的數的所有數的c放進了樹狀數組裡。

這樣，i前面的logn個區間，會把所有b小於i的b的數都考慮一遍的。也合法。

3.對於c，直接通過樹狀陣列字首和，一步就求出來了當前合法的所有數了。

相當於一個篩，留下a合法的，留下b合法的，最後能被c留下的，就是所有合法的了。

注意因為是小於等於號，所以我們先把所有的完全相同的數合併成一個數，統計的時候，一個數也大於等於自己。再加上就好了。

就是細節問題。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100000+10;
int n,m;
int f[N];
struct node{
    int x,y,z;
    int ans;
    int w;
}a[N],b[N];
int pp;
bool cmpx(node p,node q){
    if(q.x==p.x){
        if(p.y==q.y) return p.z<q.z;
        return p.y<q.y;
    }
    return p.x<q.x;
}
bool cmpy(node p,node q){
    if(q.y==p.y){
        return p.z<q.z;
    }
    return p.y<q.y;
}
struct ta{
    int g[2*N];
    void add(int x,int k){
        for(;x<=pp;x+=x&(-x)) g[x]+=k;
    }
    int ask(int x){
        int ret=0;
        for(;x;x-=x&(-x)) ret+=g[x];return ret;
    }
}t;

void cdq(int l,int r){
    //cout<<l<<" and "<<r<<endl;
    if(l==r) return;
    int mid=(l+r)>>1;
    cdq(l,mid);cdq(mid+1,r);
    sort(a+l,a+mid+1,cmpy);
    sort(a+mid+1,a+r+1,cmpy);
    //cout<<" after sort "<<l<<" || "<<r<<endl;
    int i=mid+1,j=l;
    for(;i<=r;i++){
        while(a[j].y<=a[i].y&&j<=mid){
            t.add(a[j].z,a[j].w),j++;
        }
        a[i].ans+=t.ask(a[i].z);
    }
    for(i=l;i<j;i++){
        t.add(a[i].z,-a[i].w);
    }
}
int ans[N];
int main()
{    
    int m;
    scanf("%d%d",&m,&pp);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d%d",&b[i].x,&b[i].y,&b[i].z);
    }
    sort(b+1,b+m+1,cmpx);
    int c=0;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        c++;
        if(b[i].x!=b[i+1].x||b[i].y!=b[i+1].y||b[i].z!=b[i+1].z){
            a[++n]=b[i],a[n].w=c;c=0;
        }
    }
    cdq(1,n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        ans[a[i].ans+a[i].w-1]+=a[i].w;
    }
    for(int i=0;i<m;i++){
        printf("%d\n",ans[i]);
    }
    return 0;
}

三維偏序

要是維數再多了呢？？

hihocoder 1236 Scores
Decripiton:
給出N個人的5個科目分數，給出q個詢問~~，每次給你5個科目的具體分數。求一共有多少個人對應的5個科目都小於等於你的科目分數~~

強制線上。

n,q<=50000

Solution:
這就是5維偏序了。

顯然cdq分治不容易解決了。難以巧妙處理5維。

就考慮比較暴力的思路：

把成績5種分成5組，每一組從小到大按成績排序。

每次二分出id，id的成績恰好位於成績查詢邊界。

這樣可以知道該成績是有幾個人不滿足。

但是，由於有5個，所以必須知道都是誰。。。。

用一個bitset<50001>s[5][50000]表示，第i維，前j個人滿足不合格的情況下，都是誰（s[i][j][k]=1表示，i維，編號是k的人，成績比倒數第j名可能還差。）

然後預處理出bitset（每次j加一，就把j+1的人或進去就行了），查詢的時候，二分id，之後取出這5個bitset，&一下就知道最後剩誰了，統計1的個數。

但是bitset還是太大了，不是MLE，就是TLE。

所以，考慮分塊！？？！

bitset<50001>s[5][250]表示，第i維，前j塊不合格，都是誰

預處理比較容易，一個塊一個塊內暴力處理，最後從前到後相鄰的塊一個字首或就可以了

查詢的時候，

二分出來一個id，在塊k裡，

就找到k，把k-1塊的不合格人都找出來，之後剩下的暴力加進去就可以啦

複雜度：O(5 * q * sqrtn)（不算預處理）

因為這個是n<=50000,所以分塊卡不掉。

這種資料範圍，多維偏序都可以類似擴充套件開來。

本質上還是一個篩。不過用了bitset和分塊優化。

總結：

感覺多維偏序在生活中還是比較常見的，

比方說，你期末考試之後，想看看完虐多少個人？（每一科都比TA高）

就是多維偏序了。