素數判斷和大合數分解_C004素數的判定作品展示
技術標籤：素數判斷和大合數分解
C004素數的判定作品展示1號作品 作者：常晨龍
解題思路：若一個數i不能被2~sqrt(i)間任意一個整數整除，那麼i就為質數。
程式程式碼：
#include#includeint main(){ int f,i,j,t=0; for(i=2;;i++) //從2開始依次判斷每個整數是不是質數 { f=sqrt((float)i);//VC++2010重構多個sqrt,選其一 for(j=2;j<=f;j++) if(i%j==0) break; if(j>=f+1) t++; //用於計數，當前為第t個素數 if(t==2019) break; } printf("%d",i); return(0);}
執行結果：17569
2號作品作者:網安興國
解題思路：本題目主要運用了常見的三種方法來做，其實後面兩種篩選法在這道題上優勢不大，僅供大家交流學習。
/*由素數定理可知，不超過x的素數的個數為x/lnx，由此大致估計，第2019個素數的大小10000-100000之間*/
#include
#include
#include
using namespace std;
const int maxn = 100000;
bool IsPrime_2[maxn];
bool IsPrime_3[maxn];
int prime[2050];
bool IsPrime(int n) //方法一：判斷n是否為素數，樸素做法，後面要呼叫
{
inti,k;
k= sqrt(n);
for(i=2;i<=k;i++)
if(n % i == 0)
break;
if(i> k)
return true;
returnfalse;
}
/*方法二：埃拉斯托特尼篩選法求素數，其原理是大於等於2的數的n(n>=2)倍一定是合數，因為每一個素數都只能被1和本身除盡，
所以，能夠被這些數篩掉的一定是合數，這樣，留下來的一定是素數。所以我們只需要從2開始，將所有2的倍數(>=2倍)標記為合數，
然後從3開始，將3的倍數(>=2倍)標記為合數，以此類推……當然，對於每個數來說篩選的邊界是maxn(這道題是100000以內)
*/
//方法二：埃拉斯托特尼篩選法求素數，時間複雜度為O(n*ln(n))
//注：本方法的時間複雜度的證明需要用到尤拉推出的關於p級數(p=1時)的求和公式，在此就不做詳盡證明，啊，偉大的尤拉，膜拜。
int Erato() //返回第2019個素數
{
//有一個細節是，每一輪篩選開始的時候，如果該數沒有被標記為false,那麼它一定是素數，因為比它小的數都沒能幹掉它！ 所以，能留下來的都是王者！
inti,j,cnt = 0;
memset(IsPrime_2,true,sizeof(IsPrime_2));//將該陣列初始化，全部標記為素數
for(i=2;i<=maxn;i++)
{
if(IsPrime_2[i]) //如果是素數，則計數
cnt++;
if(cnt == 2019) //當得到第2019的數時
returni;
for(j=i*2;j<=maxn;j+=i)
IsPrime_2[j]= false;
}
}
/*方法三：本方法還是篩選，主要利用一個素數基本定理的變形：任何一個合數都可以表示為一個素數和一個合數的乘積，所以，
我們只需要用素數和某一個數的乘積作為篩選標準，且保證每一個合數都是被其最小的素數因子篩掉的，這一點很重要，後面會提到。利用這一點，當篩選的時候，碰到某數n可以整除已經篩出的某素數的時候，本輪篩選便可以停止，因為下一個素數乘n一定可以表示為更小的素數和更大的合數之積，所以就不必重複篩選。這個是重要的減少複雜度的依據，也是本方法的關鍵！每次篩選的時候，都利用已經篩出的素數作為新一輪篩選的基礎。這個篩選要多出一個prime陣列，實際上是以空間換時間。
*/
int Euler() //方法三：尤拉篩選法求素數，時間複雜度為O(n)
{
inti,j,cnt = 0;
memset(IsPrime_3,true,sizeof(IsPrime_3));//將所有數初始化為素數
for(i=2;i<=maxn;i++)
{
if(IsPrime_3[i])
prime[cnt++]= i;
if(cnt == 2019)
returnprime[cnt-1];
for(j=0;j
{
IsPrime_3[i*prime[j]]= false;
if(i% prime[j] == 0) //如果可以整除，則跳出去，前面提到過，這是關鍵之處
break;
}
}
}
int main()
{
inti,cnt = 0;
ios::sync_with_stdio(false);
//方法一：樸素做法，時間複雜度為O(n*根號n)，具體證明應該會涉及到p級數及留數定理，此處略(其實是本菜雞太弱。。本學期剛開始學複變函式，還沒學到留數定理。。只知道皮毛，不敢妄言。)
for(i=2;i<=maxn;i++)
{
if(IsPrime(i)) //一個一個判斷，如果是素數，則讓計數器cnt加1
cnt++;
if(cnt == 2019)
{
cout<(樸素做法)第2019個素數為："<
break;
}
}
//方法二：埃拉斯托特尼篩選法
cout<(埃拉斯托特尼篩選法)第2019個素數為："<
//方法三：尤拉篩選法
cout<(尤拉篩選法)第2019個素數為："<
return0;
}
執行結果：17569
編後記
大部分程式設計教材都有素數判定例程，所以本期題目算是一個常規題，難度不大。本次共收到7份作品，除開己經展示的作品以外，還有李飛陽、宋雲肥、荃渡、pzd、張恆等也提供了作品。本次題目只是找出指定的一個素數，並沒必要把所有的數都儲存下來，所以，從程式的空間複雜性來說，樸素篩選法更為簡單。由於篇幅限制，未能一一展示其他作品。在此，感謝所有作者及支援本公眾號的同學。
題目連結：C004素數的判定
