技術標籤：資料結構

目錄：

樹狀陣列

• 樹狀陣列是什麼？
• 模板題
• 求逆序對（離散化）
• 其他題目

樹狀陣列是什麼？

（待補）

模板題

洛谷P3374

#include<bits/stdc++.h>
#include<ext/rope>
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define endl '\n'
#define IOS std::ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0), cout.tie(0)

using namespace std;

const int N = 6e5
 
 + 10;
int n, m;
ll a[N], tree[N];

int lowbit(int x)  //找到x的二進位制表示末位1
{
	return x & (-x);
}

void build()  //建樹
{
	for(int i = 1; i <= n; i ++)
	{
		cin >> a[i];
		updata(i, a[i]);
	}
}

void updata(int x, int y)  //樹的維護
{
	for(; x <= n; x += lowbit(x))
		tree[x] += y;
}
//此處可以如是想：lowbit取出的是當前x的最低含一位
 

//權值位，相加後等於向高位進位，並且已有的數位永遠為零
//這就可以推出：每當x值+=lowbit(x)時，都會有進位，並且
//進位後的新x值一定包含所有原來的x值，也就是說，這一步
//充分地向上進位，達到區間和更新的目的。

ll query(int x)   //查詢字首和
{
	int res = 0;
	for(; x; x -= lowbit(x))
		res += tree[x];
	return res;
}

ll getsum(int x, int y)  //求區間和
{
	return query(y) - query(x - 1);	//這裡注意所求區間是包含了x的，所以是減去 x - 1。
 

}

int main()
{
	cin >> n >> m;
	build();
	while(m --)
	{
		int k;
		int x, y;
		cin >> k >> x >> y;
		if(k == 1)
			updata(x, y);
		else
			cout << getsum(x,y) << endl;  
	}
	return 0;
}

求逆序對（離散化）

首先要知道什麼是逆序對：對於一個數組，如果i > j && a[i] < a[j]，這兩個數就算一對逆序對，簡單來說，所有逆序對的個數和就是找每一個數的前面有幾個比他的大的數，他們加起來的和就是逆序對的總數。
P1774 最接近神的人

思路詳情

我的理解：
離散化之後，每個點的值實際上就是它應該在的位置，比如：
100000 1000 10000 100 10 離散化之後就是：5 3 4 2 1。

我們可以遍歷一遍離散化之後的陣列，遍歷到一個數之後，將樹狀數組裡這個數應該在的位置（也就是離散化後的a【i】）上加一個1（也就是做一個標記，表示這個點已經放入了樹狀陣列），比如遍歷到5的話，就將樹狀數組裡的5的位置上+1。

然後計算一下query（5），因為是query（5）是求的1 - 5的區間和，所以query（5）就是當前放入了樹狀數組裡的所有比5小的數個數（包括5自己）。

設 i 是當前已經放了i個數進入樹狀陣列，所以用i - qeury（a[i]）就是當前所有比a[i]要大的數的個數，這就是a[i]的逆序對的個數，然後這樣遍歷一遍陣列就可以得到所有的逆序對數。

所以query（5） = 1， i - query（5） = 1 - 1 = 0，ans += 0。

之後的過程如下圖：

query(3) = 1, i - query(3) = 2 - 1 = 1, ans += 1。

query（4） = 2, i - query(4) = 3 - 2 = 1, ans += 1。

query（2） = 1，i - query（2）= 4 - 1 = 3， ans += 3。

query（1） = 1，i - query（1）= 5 - 1 = 4，ans += 4。

所以ans最終的結果是9。

程式碼：

#include<bits/stdc++.h>
#include<ext/rope>
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define endl '\n'
#define IOS std::ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0), cout.tie(0)

using namespace std;

const int N = 6e5 + 10;
ll n, m, ans;
ll a[N], b[N], tree[N];

int lowbit(int x) 
{
	return x & (-x);
}

void updata(int x, int y)  //單點更新
{
	for(; x <= n; x += lowbit(x))
		tree[x] += y;
}

ll query(int x)   //查詢字首和
{
	int res = 0;
	for(; x; x -= lowbit(x))
		res += tree[x];
	return res;
}

bool cmp(int l,int r) //過載運算子用於離散化  
{
    return a[l] < a[r];
}

int main()
{
	cin >> n;
	for(int i = 1; i <= n; i ++)
		cin >> a[i], b[i] = i;
	stable_sort(b + 1, b + n + 1, cmp);
	for(int i = 1; i <= n; i ++)
		a[b[i]] = i;
	for(int i = 1; i <= n; i ++)
	{
		updata(a[i],1); // 標記a【i】
		ans += i - query(a[i]);//到目前為止，一共往樹狀陣列
		//裡放入了i個數，而query（a【i】）是樹狀陣列中比a【i】
		//小的數（因為是從左到右遍歷的。），所以i - 樹狀陣列中
		//比a【i】小的數就是剩餘的比a【i】大的數。
	}
	cout << ans << endl;
    return 0;
}

其他題目