洛谷P4848 嶗山白花蛇草水 權值線段樹+KDtree
題目描述
神犇 \(Aleph\) 在 \(SDOI\ Round2\) 前立了一個 \(flag\)：如果進了省隊，就現場直播喝嶗山白花蛇草水。憑藉著神犇 \(Aleph\) 的實力，他輕鬆地進了山東省省隊，現在便是他履行諾言的時候了。蒟蒻 \(Bob\) 特地為他準備了 \(999,999,999,999,999,999\) 瓶嶗山白花蛇草水，想要灌神犇 \(Aleph\)。神犇 \(Aleph\) 求（跪著的）蒟蒻 \(Bob\) 不要灌他，由於神犇 \(Aleph\) 是神犇，蒟蒻 \(Bob\) 最終答應了他的請求，但蒟蒻 \(Bob\) 決定將計就計，也讓神犇 $Aleph4 回答一些問題。
具體說來，蒟蒻 \(Bob\) 會在一個寬敞的廣場上放置一些嶗山白花蛇草水（可視為二維平面上的一些整點），然後詢問神犇 \(Aleph\) 在矩形區域 \(x_1\le x\le x_2,y_1\le y\le y_2\) 中，嶗山白花蛇草水瓶數第 \(k\) 多的是多少。為了避免麻煩，蒟蒻 \(Bob\) 不會在同一個位置放置兩次或兩次以上的嶗山白花蛇草水，但蒟蒻 \(Bob\) 想為難一下神犇 \(Aleph\)，希望他能在每次詢問時立刻回 答出答案。
神犇 \(Aleph\) 不屑於做這種問題，所以把這個問題交給了你。
輸入格式
輸入的第一行為兩個正整數 \(n\)，\(q\)，表示橫縱座標的範圍和蒟蒻 \(Bob\)
接下來 \(q\) 行，每行代表蒟蒻 \(Bob\) 的一個操作，操作格式如下：
首先第一個數字 \(\mathrm{type}\)，表示操作種類。\(\mathrm{type}=1\) 表示放置，\(\mathrm{type}=2\) 表示詢問。
若 \(\mathrm{type}=1\)，接下來會有三個正整數 \(x, y, v\)，表示在座標整點 \((x, y)\) 放置v瓶嶗山白花蛇草水。
若 \(\mathrm{type}=2\)，接下來會有五個正整數 \(x_1, y_1, x_2, y_2, k\)，表示詢問矩形區域 \(x_1\le x\le x_2,y_1\le y\le y_2\)
為了體現程式的線上性，你需要將每次讀入的資料（除了 \(\mathrm{type}\) 值）都異或 \(\mathrm{lastans}\)，其中 \(\mathrm{lastans}\) 表示上次詢問的答 案。如果上次詢問的答案為 \(NAIVE!ORZzyz\).（見樣例輸出），則將 \(\mathrm{lastans}\) 置為 \(0\)。初始時的 \(\mathrm{lastans}\) 為 \(0\)。 初始時平面上不存在嶗山白花蛇草水。
輸出格式
對於每個 \(\mathrm{type}=2\) 的操作，一行輸出嶗山白花蛇草水瓶數第 \(k\) 多的是多少。若不存在第 \(k\) 多的瓶數， 請輸出 \(NAIVE!ORZzyz.\)。
輸入輸出樣例
輸入 #1
10 7
1 1 1 1
1 2 2 3
1 4 1 2
1 3 4 4
2 1 1 4 1 3
2 2 2 3 5 4
2 2 1 4 4 2
輸出 #1
NAIVE!ORZzyz.
NAIVE!ORZzyz.
3
說明/提示
對於所有資料，\(n\le500000\)，\(q\le100000\)，\(1\le x, y\le n\)，\(1\le v\le 10^9\)，\(1\le x_1\le x_2\le n\)，\(1\le y_1\le y_2\le n\)，\(1\le k\le q\)。
分析
在給定的矩形內查詢第 \(k\) 大的權值
動態加點，強制線上
這種題一個非常好想的做法就是開一個小根堆維護最大的 \(k\) 個元素
每次只更新隊首的元素
這種做法在 \(k\) 比較小的情況下是沒有問題的
然而這道題 \(k\) 的範圍達到了 \(10^5\) ，顯然會 \(T\) 到飛起
所以我們需要另一種能夠支援查詢區間 \(k\) 大值的資料結構，比如權值線段樹
權值線段樹的每個節點上都維護一棵 \(kdtree\)
\(kdtree\) 中儲存權值為當前節點下標的所有點的座標
因為要動態加點，為了防止二叉樹退化成一條鏈，需要借鑑替罪羊的思想暴力重構
要注意的是，暴力重構時，不能這樣寫
void dfs(rg int da){
sta[++tp]=da;
jl[tp]=ktr[da];
if(ktr[da].lc) dfs(ktr[da].lc);
if(ktr[da].rc) dfs(ktr[da].rc);
}
而要這樣寫
void dfs(rg int da){
sta[++tp]=da;
jl[tp].d[0]=ktr[da].d[0];
jl[tp].d[1]=ktr[da].d[1];
if(ktr[da].lc) dfs(ktr[da].lc);
if(ktr[da].rc) dfs(ktr[da].rc);
}
因為你直接繼承 \(min\) 和 \(max\) 會對之後節點的更新造成影響
程式碼
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<cmath>
#define rg register
inline int read(){
rg int x=0,fh=1;
rg char ch=getchar();
while(ch<'0' || ch>'9'){
if(ch=='-') fh=-1;
ch=getchar();
}
while(ch>='0' && ch<='9'){
x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
ch=getchar();
}
return x*fh;
}
const int maxn=1e6+5,INF=1e9;
const double alpha=0.75;
inline int Max(rg int aa,rg int bb){
return aa>bb?aa:bb;
}
inline int Min(rg int aa,rg int bb){
return aa<bb?aa:bb;
}
int orz,kcnt,sta[maxn],tp;
struct kdt{
int lc,rc,mn[2],mx[2],d[2],siz;
friend bool operator <(const kdt& A,const kdt& B){
return A.d[orz]<B.d[orz];
}
}ktr[maxn*5],jl[maxn*5];
inline int newnode(){
if(tp) return sta[tp--];
else return ++kcnt;
}
void push_up(rg int da){
rg int lc=ktr[da].lc,rc=ktr[da].rc;
for(rg int i=0;i<2;i++){
ktr[da].mn[i]=ktr[da].mx[i]=ktr[da].d[i];
if(lc){
ktr[da].mn[i]=Min(ktr[da].mn[i],ktr[lc].mn[i]);
ktr[da].mx[i]=Max(ktr[da].mx[i],ktr[lc].mx[i]);
}
if(rc){
ktr[da].mn[i]=Min(ktr[da].mn[i],ktr[rc].mn[i]);
ktr[da].mx[i]=Max(ktr[da].mx[i],ktr[rc].mx[i]);
}
}
ktr[da].siz=ktr[lc].siz+ktr[rc].siz+1;
}
int build(rg int l,rg int r,rg int pl){
orz=pl;
rg int da=newnode(),mids=(l+r)>>1;
std::nth_element(jl+l,jl+mids,jl+r+1);
ktr[da]=jl[mids];
if(l<mids) ktr[da].lc=build(l,mids-1,!pl);
if(mids<r) ktr[da].rc=build(mids+1,r,!pl);
push_up(da);
return da;
}
void dfs(rg int da){
sta[++tp]=da;
jl[tp].d[0]=ktr[da].d[0];
jl[tp].d[1]=ktr[da].d[1];
if(ktr[da].lc) dfs(ktr[da].lc);
if(ktr[da].rc) dfs(ktr[da].rc);
}
void check(rg int &da,rg int pl){
rg int lc=ktr[da].lc,rc=ktr[da].rc;
if(ktr[lc].siz>ktr[da].siz*alpha || ktr[rc].siz>ktr[da].siz*alpha){
tp=0;
dfs(da);
da=build(1,tp,pl);
}
}
int ad(rg int da,rg int nx,rg int ny,rg int pl){
if(!da){
da=newnode();
ktr[da].mn[0]=ktr[da].mx[0]=ktr[da].d[0]=nx;
ktr[da].mn[1]=ktr[da].mx[1]=ktr[da].d[1]=ny;
ktr[da].siz=1;
return da;
}
if(pl==0){
if(nx<ktr[da].d[0]) ktr[da].lc=ad(ktr[da].lc,nx,ny,!pl);
else ktr[da].rc=ad(ktr[da].rc,nx,ny,!pl);
} else {
if(ny<ktr[da].d[1]) ktr[da].lc=ad(ktr[da].lc,nx,ny,!pl);
else ktr[da].rc=ad(ktr[da].rc,nx,ny,!pl);
}
push_up(da);
if(ktr[da].siz>6) check(da,pl);
return da;
}
int cx(rg int da,rg int a1,rg int a2,rg int b1,rg int b2){
if(!da) return 0;
if(ktr[da].mx[0]<a1 || ktr[da].mn[0]>a2 || ktr[da].mx[1]<b1 || ktr[da].mn[1]>b2) return 0;
if(ktr[da].mx[0]<=a2 && ktr[da].mn[0]>=a1 && ktr[da].mx[1]<=b2 && ktr[da].mn[1]>=b1){
return ktr[da].siz;
}
rg int nans=0;
if(ktr[da].d[0]<=a2 && ktr[da].d[0]>=a1 && ktr[da].d[1]<=b2 && ktr[da].d[1]>=b1) nans++;
nans+=cx(ktr[da].lc,a1,a2,b1,b2);
nans+=cx(ktr[da].rc,a1,a2,b1,b2);
return nans;
}
struct trr{
int lc,rc;
}tr[maxn*10];
int rk[maxn],cnt,rt;
int xg(rg int da,rg int l,rg int r,rg int wz,rg int nx,rg int ny){
if(!da) da=++cnt;
rg int mids=(l+r)>>1;
rk[da]=ad(rk[da],nx,ny,0);
if(l==r) return da;
if(wz<=mids) tr[da].lc=xg(tr[da].lc,l,mids,wz,nx,ny);
else tr[da].rc=xg(tr[da].rc,mids+1,r,wz,nx,ny);
return da;
}
int trcx(rg int da,rg int l,rg int r,rg int kth,rg int a1,rg int a2,rg int b1,rg int b2){
if(l==r) return l;
rg int nans=cx(rk[tr[da].rc],a1,a2,b1,b2),mids=(l+r)>>1;
if(nans>=kth) return trcx(tr[da].rc,mids+1,r,kth,a1,a2,b1,b2);
else return trcx(tr[da].lc,l,mids,kth-nans,a1,a2,b1,b2);
}
int n,q,latans;
int main(){
n=read(),q=read();
rg int aa,bb,cc,dd,ee,ff;
for(rg int i=1;i<=q;i++){
aa=read(),bb=read(),cc=read(),dd=read();
bb^=latans,cc^=latans,dd^=latans;
if(aa==1){
rt=xg(rt,1,INF,dd,bb,cc);
} else {
ee=read(),ff=read();
ee^=latans,ff^=latans;
if(cx(rk[rt],bb,dd,cc,ee)<ff){
printf("NAIVE!ORZzyz.\n");
latans=0;
} else {
printf("%d\n",latans=trcx(rt,1,INF,ff,bb,dd,cc,ee));
}
}
}
return 0;
}