堆

堆的應用比較多，比如堆排序等等，下面就來介紹下堆

堆是一棵樹（完全二叉樹）的形式，其每個結點都有一個值，且每個結點的值都大於/小於等於其父結點的值

• 小根堆：每個結點的值都大於等於其父結點的值
• 大根堆：每個結點的值都小於等於其父結點的值

注意：堆的根結點存放的是最大值或者最小值，但其他結點的值的排序是未知的，這與二叉搜尋樹不同

堆的基本操作

• 插入一個數

  在末尾插入新的元素，然後向上調整

• 求堆中的最小(大)值

  返回堆頂元素

• 刪除最小值

  用末尾的元素去覆蓋堆頂元素，然後再將堆頂元素向下調整

• 刪除任意一個元素

  將任意一個元素覆蓋堆頂元素，然後再將堆頂元素向下或者向上調整

• 修改任意一個元素

  直接賦值，再將該元素向上或者向下調整

const int N = 100010;
int heap[N],l;

void down(int x) {
  //用t來代表根結點和其左右兒子中的最小值的下標
  int t = x;
  //如果左兒子存在且左兒子小於t，則t等於左兒子
  if (x * 2 <= l && heap[x * 2] < heap[t]) {
   	 t = x * 2; 
  }
  if (x * 2 + 1 <= l && heap[x * 2 + 1] < heap[t]) {
    t = x * 2 + 1;
  }
  //當根結點不是最小值的時候
  if (x != t) {
    swap(heap[t],heap[x]);
    down(t);
  }
}

void up(int x) {
  //當該點有父結點且該點的值大於其父結點的值，則進行交換
  while (x/2 > 0 && heap[x/2] > h[x]) {
    swap(heap[x/2],heap[x]);
    x /= 2;
  }
}

//最小值
heap[1];

//刪除最小元素
heap[1] = heap[l];
l--;
down(1);
 

解釋：為何刪除元素時需要覆蓋堆頂元素，再調整

由於我們使用陣列儲存堆，在陣列中，刪除第一個元素比較困難，但刪除最後一個元素比較簡單，我們只需要用最後一個元素覆蓋掉第一個元素，這樣一來，最後一個元素還儲存在陣列中，只是位置變了，而要刪除的元素已經不在了，此時我們使陣列的長度減一，再將第一個元素進行排序，調整到合適的位置即可

堆的儲存方式

我們採用陣列的方式去實現堆

下標從1開始時：

• x的左兒子：2 * x
• x的右兒子：2 * x + 1

堆的建立

我們在陣列儲存了所有的元素後，需要建堆，此時我們一般採用一種O(n)的方法來實現

以小根堆為例，我們從n/2處的元素開始執行向下調整(down)操作

for (int i = n/2;i > 0; i--) {
  down(i);
}

解釋：因為n/2是堆的倒數第二層，所以我們將上面的所有元素都進行一個下沉操作來維護堆的有序

STL中的堆

c++中，提供了一個優先佇列，實現堆的功能

priority_queue自動實現排序

//大根堆
priority_queue<int> heap;
//小根堆
priority_queue<int,vector<int>,greater<int>> heap;

//返回堆頂元素
heap.top();
//向堆插入一個數
heap.push(1);
//彈出堆頂元素
heap.pop();
//判斷堆是否為空
heap.empty();
//返回元素個數
heap.size();