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Kruskal重構樹 學習筆記

文章目錄

• Kruskal重構樹 學習筆記
• • 前言
  • 例題1 BZOJ3732 Network
  • 例題2 [NOI2018] 歸程

前言

Kruskal重構樹是一種比較冷門的演算法，但在解決某些問題時相當好用。

例題1 BZOJ3732 Network

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在一個 n n n 點 m m m 邊的無向連通圖中多次詢問兩點間的最長邊最小值（即兩點間的瓶頸）。

這是一個經典的 Kruskal重構樹問題。

這個問題其實也可以直接用最小生成樹來解決。因為要最小化最長邊，選擇最小生成樹上的邊肯定是不劣的。於是我們可以在最小生成樹上倍增得到答案。

而Kruskal重構樹則是這樣的做的：在用Kruskal合併連通塊時，順便維護一個樹的結構。比如要合併連通塊 f u fu fu 和 f v fv fv，中間有 權值為 w w w 的邊相連，就新建一個節點作為 合併後連通塊的根，賦予點權為 w w w，並且設定左右兒子為 f u fu fu 和 f v fv fv。Kruskal做完後，我們就構造了具有以下特徵的樹：

1. 葉子節點是原圖的 n n n 個點，沒有點權。
2. 非葉子節點代表著原圖中 在生成樹上的 n − 1 n-1 n−1 條邊，點權就是原圖的邊權。
3. 由於合併時邊權有一定次序，我們發現得到的樹是個二叉堆（不考慮葉子節點）。如果是做最小（大）生成樹，得到的是大（小）根堆。
4. 兩點於樹上的路徑上的各點，相當於原圖上兩點走最小（大）生成樹的路徑上的各邊。

這個樹叫做 Kruskal重構樹。易得這棵樹一共有 2 n − 1 2n-1 2n−1 個點， 2 n − 2 2n-2 2n−2 條邊。

回到這題。很容易知道，我們要找的，就是在 Kruskal 重構樹上兩點路徑中的最長邊。或者準確點，兩點路徑上的點權最大者。別犯渾用倍增做啊！由於 Kruskal 重構樹是個堆，點權最大的就是兩點的 lca 了。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace
 
 std;
typedef long long ll;
char In[1 << 20], *ss = In, *tt = In;
#define getchar() (ss == tt && (tt = (ss = In) + fread(In, 1, 1 << 20, stdin), ss == tt) ? EOF : *ss++)
ll read() {
	ll x = 0, f = 1; char ch = getchar();
	for(; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar()) if(ch == '-') f = -1;
	for(; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) x = x * 10 + int(ch - '0');
	return x * f;
}
const int MAXN = 30005;
const int MAXM = 60005;
int n, m, k, num, upto[MAXN], val[MAXN], head[MAXN], ver[MAXM], nxt[MAXM], cnt, dep[MAXN], sz[MAXN], fa[MAXN], son[MAXN], top[MAXN];
struct Edge {int u, v, w;}e[MAXM];
bool cmp(const Edge& a, const Edge& b) {return a.w < b.w;}
int getup(int u) {return u == upto[u] ? u : upto[u] = getup(upto[u]);}
void addedge(int u, int v) {ver[++cnt] = v; nxt[cnt] = head[u]; head[u] = cnt;}
void Kruskal() {
	num = n;
	sort(e + 1, e + 1 + m, cmp);
	for(int i = 1; i <= n; i++) upto[i] = i;
	for(int i = 1; i <= m; i++) {
		int fu = getup(e[i].u), fv = getup(e[i].v);
		if(fu == fv) continue;
		val[++num] = e[i].w; upto[num] = upto[fu] = upto[fv] = num;
		addedge(fu, num); addedge(num, fu); addedge(fv, num); addedge(num, fv);
	}
}
void dfs1(int u, int f) {
	dep[u] = dep[f] + 1; sz[u] = 1; fa[u] = f; son[u] = 0;
	for(int i = head[u]; i; i = nxt[i]) if(ver[i] != f) {
		int v = ver[i]; dfs1(v, u); sz[u] += sz[v];
		if(sz[v] > sz[son[u]]) son[u] = v;
	}
}
void dfs2(int u, int tprt) {
	top[u] = tprt; if(son[u]) dfs2(son[u], tprt);
	for(int i = head[u]; i; i = nxt[i]) if(ver[i] != fa[u] && ver[i] != son[u]) {
		int v = ver[i]; dfs2(v, v);
	}
}
int Lca(int u, int v) {
	while(top[u] != top[v]) {
		if(dep[top[u]] < dep[top[v]]) swap(u, v);
		u = fa[top[u]];
	}
	return dep[u] > dep[v] ? v : u;
}
int main() {
	n = read(); m = read(); k = read();
	for(int i = 1; i <= m; i++) e[i].u = read(), e[i].v = read(), e[i].w = read();
	Kruskal();
	int rt = getup(1);
	dfs1(rt, 0); dfs2(rt, rt);
	for(int i = 1; i <= k; i++) {
		int a = read(), b = read();
		printf("%d\n", val[Lca(a, b)]);
	}
	return 0;
}

例題2 [NOI2018] 歸程

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這道題與 Kruskal重構樹無關的部分我直接寫了篇題解，這裡僅提一下這樣一個小問題：

在一個無向連通圖中多次詢問，每次給出點 v v v 和限制 p p p， 請回答僅經過邊權 ≤ p \le p ≤p 的邊可以到達點的個數。（和原題稍有轉化）

這是另一個 Kruskal 重構樹的模型。

這個問題似乎不好做，不過有個簡單易行的離線做法。按限制把詢問升序排序，在做最小生成樹的同時回答詢問即可。

線上做法？我只知道Kruskal重構樹，可能是我太菜

我們建完Kruskal重構樹後，問題就轉化為：不經過點權 > p >p >p 的點，最多可以到多少個點。然後由於它是一棵樹，我們能去的點都在一個子數內。倍增找到深度最小的 點權 ≤ p \le p ≤p 的點，詢問子樹資訊即可。