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547. 省份數量

連結：https://leetcode-cn.com/problems/number-of-provinces/

有n個城市，其中一些彼此相連，另一些沒有相連。如果城市a與城市b直接相連，且城市b與城市c直接相連，那麼城市a與城市c間接相連。

省份是一組直接或間接相連的城市，組內不含其他沒有相連的城市。

給你一個n x n的矩陣isConnected，其中isConnected[i][j] = 1表示第i個城市和第j個城市直接相連，而isConnected[i][j] = 0表示二者不直接相連。

返回矩陣中省份的數量。

示例 1：

輸入：isConnected = [[1,1,0],[1,1,0],[0,0,1]]
輸出：
 
2

示例 2：

輸入：isConnected = [[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]
輸出：3

提示：

• 1 <= n <= 200
• n == isConnected.length
• n == isConnected[i].length
• isConnected[i][j]為1或0
• isConnected[i][i] == 1
• isConnected[i][j] == isConnected[j][i]

思路：是一個很明顯的並查集問題，開始時是n個獨立的集合，每合併一次，集合數就減少1。我們用路徑壓縮排行優化（增加按秩合併也可以，但是如果時間不是卡的特別死，按秩合併的優化力度有限，反而會提高程式碼複雜度）。

class Solution {
public:

    int Father[210];

    int Find(int x){
        if( x != Father[x] ){
            return Father[x] = Find(Father[x]);
        }
        return Father[x];
    }

    void Union(int A,int B,int &Single){
        int FA = Find(A), FB = Find(B);
        if( FA != FB ){
            Father[FA] = FB;
            -- Single;//每成功合併一次 集合數就少一
        }
    }

    int findCircleNum(vector<vector<int>>& isConnected) {
        int n = isConnected.size(), i, j, Single = n;
        for(i = 0; i < n; ++ i){
            Father[i] = i;
        }
        for(i = 0; i < n; ++ i){
            for(j = 0; j < n; ++ j){
                if( isConnected[i][j] ){
                    Union(i, j, Single);
                }
            }
        }  
        return Single;
    }
};
 

增加按秩合併版：

class Solution {
public:

    int Father[210];
    int Rank[210];

    int Find(int x){
        if( x != Father[x] ){
            return Father[x] = Find(Father[x]);
        }
        return Father[x];
    }

    void Union(int A,int B,int &Single){
        int FA = Find(A), FB = Find(B);
        if( FA != FB ){
            if(Rank[FA] < Rank[FB]){
                Father[FA] = FB;
            }else if(Rank[FA] == Rank[FB]){
                Father[FA] = FB;
                ++ Rank[FB];
            }else{
                Father[FB] = FA;
            }
            -- Single;//每成功合併一次 集合數就少一
        }
    }

    int findCircleNum(vector<vector<int>>& isConnected) {
        int n = isConnected.size(), i, j, Single = n;
        memset(Rank,0,sizeof(Rank));
        for(i = 0; i < n; ++ i){
            Father[i] = i;
        }
        for(i = 0; i < n; ++ i){
            for(j = 0; j < n; ++ j){
                if( isConnected[i][j] ){
                    Union(i, j, Single);
                }
            }
        }  
        return Single;
    }
};

這種寫法是為了保證Rank正確反映樹的高度，但同時過於複雜的if-else語句是會降低程式執行效能的，如果我們不需要保證Rank的正確性，則可以：

class Solution {
public:

    int Father[210];
    int Rank[210];

    int Find(int x){
        if( x != Father[x] ){
            return Father[x] = Find(Father[x]);
        }
        return Father[x];
    }

    void Union(int A,int B,int &Single){
        int FA = Find(A), FB = Find(B);
        if( FA != FB ){
            if(Rank[FA] < Rank[FB]){
                Father[FA] = FB;
                ++ Rank[FB];
            }else{
                Father[FB] = FA;
                ++ Rank[FA];
            }
            -- Single;//每成功合併一次 集合數就少一
        }
    }

    int findCircleNum(vector<vector<int>>& isConnected) {
        int n = isConnected.size(), i, j, Single = n;
        memset(Rank,0,sizeof(Rank));
        for(i = 0; i < n; ++ i){
            Father[i] = i;
        }
        for(i = 0; i < n; ++ i){
            for(j = 0; j < n; ++ j){
                if( isConnected[i][j] ){
                    Union(i, j, Single);
                }
            }
        }  
        return Single;
    }
};