線性基

基本概念：

線性基的概念見：https://oi.men.ci/linear-basis-notes/

通俗的講就是給定你由N個整數構成的整數序列，你可以從中選取一些（至少一個）進行異或（\(XOR\)）運算，從而得到很多不同的結果。你能將這\(N\)個整數壓縮成另一個序列，取其中的進行異或（\(XOR\)），得到的結果和之前相同，其中\(a[i]\)二進位制的最高位的\(1\)在第\(i\)位，這就是線性基。

構造線性基：

實現：將整數x插入線性基，將整數x二進位制從最高位開始往後列舉，找到最高位i的"1",判斷是否能插入bas[i]，若不能將x^bas[i],然後繼續往後找。

ll bas[N];
int sz=64;
bool insert(ll x){
    for(int i=sz;i>=1;i--){
        if((x&(1ll<<(i-1)))==0) continue;
        if(bas[i]) x^=bas[i];
        else bas[i]=x;return true;
    }
    return false;
}
 

高斯消元版。

bool insert(ll x){
    for(int i=sz;i>=1;i--){
        if((x&(1ll<<(i-1)))==0) continue;
        
        if(bas[i]){
        //若如主元j已經存在，用a[j]消去x的第j位然後繼續
        	x^=bas[i];
            continue;
        }
        for(int j=1;j<=i-1;j++){
 		//讓x當主元i，需要先用第j(j<i)個主元消去x的第j位
 			if(x&(1ll<<(j-1))) x^=bas[j];
        }
        for(int j=i+1;j<=sz;j++){
        //接著用x去消掉第j(j>i)個主元的第i位
            if(bas[j]&(1ll<<(i-1))) bas[j]^=x;  
        }
        bas[i]=x;
        return true;
    }
    return false;
}
 

線性基相關性質

1.求任意子集xor最大值：把線性基中所有元素xor起來。

ll qryMax(){
    ll ans=0;
    for(int i=1;i<=sz;i++){
        ans^=bas[i];
    }
    return ans;
}

2.求任意子集xor最小值: 等於最小的主元。

ll qryMin(){
    for(int i=1;i<=sz;i++){
    	if(bas[i]) return bas[i];    
    }
}

3.查詢第k小的值:把k進行二進位制分解，把1對應位置的主元xor起來；注意這裡第0小就是0。

//快速冪
ll ksm(ll x,ll p){
    ll res=1;
    while(p){
        if(p%2==1) res*=x;
        p/=2;
        x=x*x;
    }
    return res;
}
 
ll qry(ll k){
    if(ok) k--; //判斷值域是否有0，有0則0為第1小
    if(k<=0) return 0;
    int cnt=count;//線性基大小
    ll res=0;
    for(int i=sz;i>=1;i--){
        if(bas[i]==0) continue;
        cnt--;
        if(k-ksm(2,cnt)<0) continue;
        res^=bas[i];//將k二進位制拆分後1的位置
        k-=ksm(2,cnt);
    }
    if(k) return -1;//不存在的k小
    else return res;
}

4.查詢x是否在值域中: 如果x能插入線性基，則x不能被當前線性基xor出來。

5.求任意子集與x進行xor的最大值：從高->低貪心，若xor上a[j]能變大就xor。

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