技術標籤：C++雜項

兩種特殊二叉樹
1.滿二叉樹：除葉子節點外的所有分支節點都含有2個非空子節點的二叉樹
2.完全二叉樹：除了最後一層，其餘層都是“滿”的，這樣的二叉樹是完全二叉樹

二叉樹定理
1）任意二叉樹度數為2節點的個數等於葉節點個數減1
當只有1個節點時，度為0。每派生出1度，就會多出1個節點。派生出的度和派生出的節點數一定相等。那麼就得出了總度數和節點總數的關係：
節點總數 = 總度數 + 1
設度數為2的節點數為X2，度數為1的節點數為X1，度數為0的節點數為X0。可以得出如下關係式：
X2 + X1 + X0 = 2X2 + X1 + 1，推出 X2 = X0 - 1
因此，度數為2的節點個數等於葉節點數減1

2）滿二叉樹定理：非空滿二叉樹的葉節點數等於其分支節點數加1
如果已知前一個結論，那麼這個定理顯然成立。下面分析如果不知道前一個結論，怎麼證明
對於只有1個節點的樹，該定理成立。從這開始思考，每產生1個分支節點(度數為2)。葉子節點數也會加1。因為要產生一個分支節點，那麼這個新的分支節點必然是原來的葉子節點，而新的分支節點又生成了2個新的葉子節點。因此葉子節點的總數先是減1然後加2，因此總數加1。因此，產生n個分支節點時，也產生了n個葉子節點，由於最初只有1個葉子節點，所以該定理成立

3）一顆非空二叉樹空子樹的數目等於其節點數目加1
考慮只有1個根節點的二叉樹：它有2個空子樹，1個節點，因此結論成立。從這裡開始考慮，每產生1個節點。空子樹便會先減1然後加2。就和上面結論中每多出1個分支節點，葉子節點的變化一樣。因此在原來結論的基礎上，由於空子樹和節點等量增長。所以結論成立

3.前序遍歷：根->左->右

4.中序遍歷：左->根->右

5.後序遍歷：左->右->根

假設樹節點的定義如下：

struct TreeNode {
    int val;
    TreeNode *left;
    TreeNode *right;
    TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}
};

遞迴版
//前序遍歷

void preorderTraversalRecursion(TreeNode *node)
{
    if(!node) return;
    cout <<
 
 node->val << " ";//操作當前節點
    preorderTraversalRecursion(node->left);
    preorderTraversalRecursion(node->right);
}

//中序遍歷

void inorderTraversalRecursion(TreeNode *node)
{
    if(!node) return;
    inorderTraversalRecursion(node->left);
    cout << node->val << " ";//操作當前節點
    inorderTraversalRecursion(node->right);
}

//後序遍歷

void postorderTraversalRecursion(TreeNode *node)
{
    if(!node) return;
    postorderTraversalRecursion(node->left);
    postorderTraversalRecursion(node->right);
    cout << node->val << " ";//操作當前節點
}

迭代版
需要使用一個棧作為輔助空間

//前序遍歷
void preorderTraversalIteration(TreeNode *root)
{
    stack<TreeNode*> st;
    if(root)
        st.push(root);

    while(!st.empty()){
        TreeNode *nd = st.top();
        st.pop();

        cout << nd->val << " ";//操作當前節點

        if(nd->right)
            st.push(nd->right);
        if(nd->left)
            st.push(nd->left);
    }
}

//中序遍歷：
void inorderTraversalIteration(TreeNode *root)
{
    stack<TreeNode*> st;

    TreeNode *curr = root;

    while(curr || !st.empty()){
        if(curr){
            st.push(curr);
            curr = curr->left;
        }
        else{
            curr = st.top();
            st.pop();

            cout << curr->val << " ";//操作當前節點

            curr = curr->right;
        }
    }
}

//後序遍歷
void postorderTraversalIteration(TreeNode *root)
{
    stack<TreeNode*> st;
    TreeNode *pre;

    if(root)
        st.push(root);

    while(!st.empty()){
        TreeNode *nd = st.top();
        /*
         * 出棧條件：
         * 對於葉子節點：直接彈出
         * 對於非葉子節點：如果已經遍歷過其左子節點或右子節點，則彈出
         */
        if((!nd->left && !nd->right) || (pre && (nd->left == pre || nd->right == pre))){
            st.pop();
            cout << nd->val <<" ";//操作當前節點
            pre = nd;
        }
        else{//說明是一個非葉子節點，並且還未訪問其左右孩子
            if(nd->right)
                st.push(nd->right);
            if(nd->left)
                st.push(nd->left);
        }
    }
}

對於後序遍歷，由於其訪問序列為：左->右->根。因此還有一種方法，可以按類似前序遍歷的方式：根->右->左，然後對得到的結果反序