演算法1：最快最簡單的排序——桶排序

在我們生活的這個世界中到處都是被排序過的。站隊的時候會按照身高排序，考試的名次需要按照分數排序，網上購物的時候會按照價格排序，電子郵箱中的郵件按照時間排序……總之很多東西都需要排序，可以說排序是無處不在。現在我們舉個具體的例子來介紹一下排序演算法。

首先出場的我們的主人公小哼，上面這個可愛的娃就是啦。期末考試完了老師要將同學們的分數按照從高到低排序。小哼的班上只有 5 個同學，這 5 個同學分別考了 5 分、3 分、5 分、2 分和 8 分，哎考的真是慘不忍睹（滿分是 10 分）。接下來將分數進行從大到小排序，排序後是 8 5 5 3 2。你有沒有什麼好方法編寫一段程式，讓計算機隨機讀入 5 個數然後將這 5 個數從大到小輸出？請先想一想，至少想 15 分鐘再往下看吧(^__^

我們這裡只需藉助一個一維陣列就可以解決這個問題。請確定你真的仔細想過再往下看哦。

首先我們需要申請一個大小為 11 的陣列 int a[11]。OK 現在你已經有了 11 個變數，編號從 a[0]~a[10]。剛開始的時候，我們將 a[0]~a[10]都初始化為 0，表示這些分數還都沒有人得過。例如 a[0]等於 0 就表示目前還沒有人得過 0 分，同理 a[1]等於 0 就表示目前還沒有人得過 1 分……a[10]等於 0 就表示目前還沒有人得過 10 分。

下面開始處理每一個人的分數，第一個人的分數是 5 分，我們就將相對應 a[5]的值在原來的基礎增加 1，即將 a[5]的值從 0 改為 1，表示 5 分出現過了一次。

第二個人的分數是 3 分，我們就把相對應 a[3]的值在原來的基礎上增加 1，即將 a[3]的值從 0 改為 1，表示 3 分出現過了一次。

注意啦！第三個人的分數也是“5 分”，所以a[5]的值需要在此基礎上再增加 1，即將 a[5]的值從 1 改為 2。表示 5 分出現過了兩次。

按照剛才的方法處理第四個和第五個人的分數。最終結果就是下面這個圖啦。

你發現沒有，a[0]~a[10]中的數值其實就是 0 分到 10 分每個分數出現的次數。接下來，我們只需要將出現過的分數打印出來就可以了，出現幾次就列印幾次，具體如下。 　　a[0]為 0，表示“0”沒有出現過，不列印。
　　a[1]為 0，表示“1”沒有出現過，不列印。
　　a[2]為 1，表示“2”出現過 1 次，列印 2。
　　a[3]為 1，表示“3”出現過 1 次，列印 3。
　　a[4]為 0，表示“4”沒有出現過，不列印。
　　a[5]為 2，表示“5”出現過 2 次，列印5 5。
　　a[6]為 0，表示“6”沒有出現過，不列印。
　　a[7]為 0，表示“7”沒有出現過，不列印。
　　a[8]為 1，表示“8”出現過 1 次，列印 8。
　　a[9]為 0，表示“9”沒有出現過，不列印。
　　a[10]為 0，表示“10”沒有出現過，不列印。
　　最終螢幕輸出“2 3 5 5 8”，完整的程式碼如下。

public static void main(String[] args) {

        int a[] = new int[11];
        int t;

        Scanner scanner = new Scanner(System.in);

        for (int i = 0; i < 5; i++) {
            t = scanner.nextInt();
            a[t]++;
        }

        for (int i = 0; i < a.length; i++) {
            for (int j = 0; j < a[i]; j++) {
                System.out.println(i);
            }
        }
    }

輸入資料為

5 3 5 2 8 

仔細觀察的同學會發現，剛才實現的是從小到大排序。但是我們要求是從大到小排序，這該怎麼辦呢？還是先自己想一想再往下看哦。

其實很簡單。只需要將 for(i=0;i<=10;i++)改為 for(i=10;i>=0;i--)就 OK 啦，快去試一試吧。

這種排序方法我們暫且叫他“桶排序”。因為其實真正的桶排序要比這個複雜一些，以後再詳細討論，目前此演算法已經能夠滿足我們的需求了。

這個演算法就好比有 11 個桶，編號從 0~10。每出現一個數，就將對應編號的桶中的放一個小旗子，最後只要數數每個桶中有幾個小旗子就 OK 了。例如 2 號桶中有 1 個小旗子，表示 2 出現了一次；3 號桶中有 1 個小旗子，表示 3 出現了一次；5 號桶中有 2 個小旗子，表示 5 出現了兩次；8 號桶中有 1 個小旗子，表示 8 出現了一次。

現在你可以請嘗試一下輸入 n 個 0~1000 之間的整數，將他們從大到小排序。提醒一下如果需要對資料範圍在 0~1000 之間的整數進行排序，我們需要 1001 個桶，來表示 0~1000 之間每一個數出現的次數，這一點一定要注意。另外此處的每一個桶的作用其實就是“標記”每個數出現的次數，因此我喜歡將之前的陣列 a 換個更貼切的名字 book（book 這個單詞有記錄、標記的意思），程式碼實現如下。

  #include <stdio.h>
    int main()
    {
        int book[1001],i,j,t,n;
        for(i=0;i<=1000;i++)
            book[i]=0;
        scanf("%d",&n);//輸入一個數n，表示接下來有n個數
        for(i=1;i<=n;i++)//迴圈讀入n個數，並進行桶排序
        {
            scanf("%d",&t);  //把每一個數讀到變數t中
            book[t]++;  //進行計數，對編號為t的桶放一個小旗子
        }
        for(i=1000;i>=0;i--)  //依次判斷編號1000~0的桶
            for(j=1;j<=book[i];j++)  //出現了幾次就將桶的編號列印幾次
                 printf("%d ",i);
        getchar();getchar();
        return 0;
    }

可以輸入以下資料進行驗證

10
8 100 50 22 15 6 1 1000 999 0

執行結果是

1000 999 100 50 22 15 8 6 1 0

最後來說下時間複雜度的問題。程式碼中第6行的迴圈一共迴圈了 m 次（m 為桶的個數），第 9 行的程式碼迴圈了 n 次（n 為待排序數的個數），第 14 和 15 行一共迴圈了 m+n 次。所以整個排序演算法一共執行了 m+n+m+n 次。我們用大寫字母 O 來表示時間複雜度，因此該演算法的時間複雜度是 O(m+n+m+n)即 O(2*(m+n))。我們在說時間複雜度時候可以忽略較小的常數，最終桶排序的時間複雜度為 O(m+n)。還有一點，在表示時間複雜度的時候，n 和 m 通常用大寫字母即 O(M+N)。

這是一個非常快的排序演算法。桶排序從 1956 年就開始被使用，該演算法的基本思想是由 E.J.Issac R.C.Singleton 提出來。之前說過，其實這並不是真正的桶排序演算法，真正的桶排序演算法要比這個更加複雜。但是考慮到此處是演算法講解的第一篇，我想還是越簡單易懂越好，真正的桶排序留在以後再聊吧。需要說明一點的是：我們目前學習的簡化版桶排序演算法其本質上還不能算是一個真正意義上的排序演算法。為什麼呢？例如遇到下面這個例子就沒轍了。

現在分別有 5 個人的名字和分數：huhu 5 分、haha 3 分、xixi 5 分、hengheng 2 分和 gaoshou 8 分。請按照分數從高到低，輸出他們的名字。即應該輸出 gaoshou、huhu、xixi、haha、hengheng。發現問題了沒有？如果使用我們剛才簡化版的桶排序演算法僅僅是把分數進行了排序。最終輸出的也僅僅是分數，但沒有對人本身進行排序。也就是說，我們現在並不知道排序後的分數原本對應著哪一個人！這該怎麼辦呢？不要著急請聽下回——氣泡排序

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