美賽數學模型（一）——蒙特卡羅法
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蒙特卡羅方法概述及其基本思想
蒙特卡羅方法又稱隨機抽樣技巧或統計實驗方法，其基本思想為當所求問題的解是某個事件的概率，或者是某個隨機變數的數學期望，或者是與概率、數學期望有關的量時，通過某種試驗的方法，得出該事件發生的頻率，或者該隨機變數若干個具體觀察值的算術平均值，通過它得到問題的解。特殊的，當隨機變數的取值僅為1或0時，它的數學期望就是某個事件的概率。
通俗來講，蒙特卡羅方法使用隨機試驗的方式計算積分。即將所要計算的積分看作服從某種分佈密度函式
f
(
r
)
f(r)
蒙特卡羅方法的收斂性、誤差及效率
收斂性
由於蒙特卡羅方法是由隨機變數X的簡單子樣
X
1
，
X
2
，
…
，
X
N
X1，X2，…，XN
X1，X2，…，XN的算術平均值，則有大數定律可知隨機變數X的簡單子樣的算術平均值，當子樣數充分大是，以概率1收斂於其期望值。
誤差
由中心極限定理可知，蒙特卡羅方法的誤差 ϵ \epsilon ϵ定義為 ϵ = λ α σ N \epsilon = \frac {\lambda_\alpha \sigma} {\sqrt{N}} ϵ=N λασ
其中，
λ
α
{\lambda_\alpha}
效率
一般來說，降低方差的技巧，往往會使觀察一個子樣的時間增加。在固定時間內，使觀察的樣本數減少。所以，一種方法的優劣，需要由方差和觀察一個子樣的費用（使用計算機的時間）兩者來衡量，這是蒙特卡洛方法中效率的概念，定義為 σ 2 ∗ c {\sigma}^2*c σ2∗c其中， c c c為觀察一個子樣的平均費用。
蒙特卡羅方法特點
優點
- 能夠比較逼真地描述具有隨機性質的事物的特點及物理實驗過程
-
從這個意義上講，蒙特卡羅方法可以部分代替物理實驗，甚至可以得到物理實驗難以得到的結果。用蒙特卡羅方法解決實際問題，可以直接從實際問題本身出發，而不從方程或數學表示式出發。它有直觀、形象的特點。
-
- 受幾何條件限制小
-
在計算s維空間中的任一區域上的積分時，無論區域形狀多麼特殊，只要能給出描述區域的幾何特徵條件，就可以從區域中均勻產生N個點，從而得到積分近似值。
-
- 收斂速度與問題的維數無關
-
維數的變化，只引起抽樣時間及估計量計算時間的變化，不影響誤差。也就是說，使用蒙特卡羅方法時，抽取的子樣總數N與維數s無關。維數的增加，除了增加相應的計算量外，不影響問題的誤差。這一特點，決定了蒙特卡羅方法對多維問題的適應性。
-
- 具有同時計算多個方案與多個未知量的能力
-
對於那些需要計算多個方案的問題，使用蒙特卡羅方法有時不需要像常規方法那樣逐個計算，而可以同時計算所有的方案，其全部計算量幾乎與計算一個方案的計算量相當。另外，使用蒙特卡羅方法還可以同時得到若干個所求量。
-
- 誤差容易確定
-
根據蒙特卡羅方法的誤差公式，可以在計算所求量的同時計算出誤差。同時也不存在有效位數損失的問題。
-
- 程式結構簡單，易於實現
缺點
-
收斂速度慢
-
如前所述，蒙特卡羅方法的收斂速度為O(N^(1/2))，一般不容易得到精確度較高的近似結果。對於維數少（三維以下）的問題，不如其他方法好。
-
-
專案誤差具有概率性
-
由於蒙特卡羅方法的誤差是在一定置信水平下估計的，所以它的誤差具有概率性，而不是一般意義下的誤差。
-
-
在粒子輸運問題中，計算結果與系統大小有關
蒙特卡羅方法的主要應用範圍
蒙特卡羅方法所特有的優點，使得它的應用範圍越來越廣。它的主要應用範圍包括：
- 粒子輸運問題
- 實驗核物理
- 反應堆物理
- 高能物理
- 統計物理
- 典型數學問題
- 真空技術
- 鐳射技術以及醫學
- 生物
- 探礦
利用蒙特卡羅法計算定積分
針對定積分
θ
=
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
\theta = \int_a^b f(x) \,{\rm d}x
θ=∫abf(x)dx求解定積分相當於計算一個圖形的面積，而無論圖形的形狀如何，圖形面積一定能被轉化成一個以ab為底，y為高（y可以是負數）的長方形面積高，我們只需要用蒙特卡洛演算法求y即可。
所以我們可以在
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b]之間生成n個隨機點，並計算相應的函式值，再計算被積函式值得平均值
∑
i
=
1
n
f
(
x
i
)
n
\frac{\sum_{i=1}^n f(x_i)}n
n∑i=1nf(xi)則定積分應為
∑
i
=
1
n
f
(
x
i
)
n
∗
（
b
−
a
）
\frac{\sum_{i=1}^n f(x_i)}n*（b-a）
n∑i=1nf(xi)∗（b−a）