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差分

• 一、 一維基本知識
• • 概念
  • 用處
  • 操作原理
• 二、一維的一道模板題
• 三、二維差分
• • 概念
  • 操作原理
• 四、二維的一道模板題

一、 一維基本知識

概念

1. 字首和的逆運算
2. 原陣列： a1, a2, a3,...an 構造b陣列b1, b2, ...bn 使得：
   ai = b1 + b2 + b3 + ... + bi
3. 瞭解一維的構造

b1 = a1;
b2 = a2 - a1;
b3 = a3 - a2;
...
bn = an - an-1

4. a稱為b的字首和， b稱為a的字首和

用處

1. 對差分陣列求一次字首和便可求出原陣列，只要有b陣列，便可在
   
   O(n)時間，求出a陣列
2. 給定區間[l,r] 使得原陣列a的該區間內全部加上C

操作原理

目標： a陣列的[l, r] 區間內加C
（1）讓 b[l] = b[l] + C 根據定義，a[l], a[l + 1], a[l + 2], a[l + 3],...a[n] 均會加C。
（2）讓b[r + 1] = b[r + 1] - C 這樣， a[r+1] .. a[n] 會把（1）中多加的C減掉。
用O(1)的時間，便會給原陣列某段區間加上一個值

對於b陣列，可以看成a陣列的n次插入操作， 初始a，b均為0，a[1] 意味著在[1,1]區間內加上a1, ...an意味著在[n,n]區間內加上n

二、一維的一道模板題

原題連結

題目描述：
輸入一個長度為n的整數序列。
接下來輸入m個操作，每個操作包含三個整數l, r, c，表示將序列中[l, r]之間的每個數加上c。
請你輸出進行完所有操作後的序列。
輸入格式
第一行包含兩個整數n和m。
第二行包含n個整數，表示整數序列。
接下來m行，每行包含三個整數l，r，c，表示一個操作。
輸出格式
共一行，包含n個整數，表示最終序列。
資料範圍
1≤n,m≤100000,
1≤l≤r≤n,
−1000≤c≤1000,
−1000≤整數序列中元素的值≤1000

#include <iostream>
using namespace std;
const int N =
 
 100010;
int n, m;
int a[N], b[N];

void insert(int l, int r, int c){ //在l, r之間加上C
    b[l] += c;
    b[r + 1] -= c;
}

int main(){
    scanf("%d %d", &n, &m);
    for(int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%d", &a[i]);
    for(int i = 1; i <= n; i ++) insert(i, i, a[i]);
    while(m --){
        int l, r, c;
        scanf("%d%d%d", &l, &r, &c);
        insert(l, r, c);
    }
    for(int i = 1; i <= n; i ++) b[i] += b[i - 1]; 
    //對差分陣列求一遍字首和，便是改變後的a陣列
    for(int i = 1; i <= n; i ++) printf("%d ", b[i]);
    return 0;
}

三、二維差分

概念

原來a[i][j] 是差分矩陣b[i][j] 的字首和

操作原理

如何給一個子矩陣加一個值？

目標：
在a矩陣中， (x1,y1)為左上角、（x2, y2）為右上角 的區域內加上C
(1) b[x1, y1] += C,
(2)b[x2 + 1, y1] -= C 綠色區域
(3) b[x1, y2+1] -= C紅色區域
(4）b[x2+1, y2+1] += C 減重複的加上C

初始化：插入a[i, j]操作可以看成，插入一個（i，j），（i，j）的小矩陣

四、二維的一道模板題

題目連結

題目描述：
輸入一個n行m列的整數矩陣，再輸入q個操作，每個操作包含五個整數x1, y1, x2, y2, c，其中(x1, y1)和(x2, y2)表示一個子矩陣的左上角座標和右下角座標。
每個操作都要將選中的子矩陣中的每個元素的值加上c。
請你將進行完所有操作後的矩陣輸出。
輸入格式
第一行包含整數n,m,q。
接下來n行，每行包含m個整數，表示整數矩陣。
接下來q行，每行包含5個整數x1, y1, x2, y2, c，表示一個操作。
輸出格式
共 n 行，每行 m 個整數，表示所有操作進行完畢後的最終矩陣。
資料範圍
1≤n,m≤1000,
1≤q≤100000,
1≤x1≤x2≤n,
1≤y1≤y2≤m,
−1000≤c≤1000,
−1000≤矩陣內元素的值≤1000

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m, q;
int a[N][N], b[N][N];

void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c){
    b[x1][y1] += c;
    b[x2+1][y1] -= c;
    b[x1][y2+1] -= c;
    b[x2+1][y2+1] += c;

}

int main(){
    scanf("%d %d %d", &n, &m, &q);
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        for(int j = 1; j <= m; j ++){
            scanf("%d", &a[i][j]);
        }
    }
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        for(int j = 1; j <= m; j ++){
            insert(i, j, i, j, a[i][j]);
        }
    }
    while(q --){
        int x1, y1, x2, y2, c;
        scanf("%d%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2, &c);
        insert(x1, y1, x2, y2, c);
    }
    //接下來求字首和
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        for(int j = 1; j <= m; j ++){
            b[i][j] += b[i-1][j] + b[i][j-1] - b[i-1][j-1];
        }
    }
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        for(int j = 1; j <= m; j ++){
            printf("%d ", b[i][j]);
        }
        puts("");
    }
    return 0;
}