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康託展開(Cantor expansion)及逆康託展開

康託展開

康託展開的定義

康託展開是一個全排列到一個自然數的雙射，常用於構建雜湊表時的空間壓縮。 康託展開的實質是計算當前排列在所有由小到大全排列中的順序，因此是可逆的。

應用方面： 求集合全排列中某一狀態的字典序

例如，給定集合 S e t = { 1 , 2 , 3 } Set = \{1,2,3\} Set={1,2,3} ，需要求排列 213 213 213 的字典序大小。易得，在 S e t Set Set 的全排列中， 有 123 , 132 123, 132 123,1

計算公式

X = a n × ( n − 1 ) ! + a n − 1 × ( n − 2 ) ! + ⋅ ⋅ ⋅ + a 2 × 1 ! + a 1 × 0 ! X = a_n\times (n-1)!+a_{n-1}\times(n-2)!+···+a_2\times1!+a_1\times0! X=an​×(n−1)!+an−1​×(n−2)!+⋅⋅⋅+a2​×1!+a1​×0!
  其中， a i a_i ai​ 為第 i i i 位後的 i − 1 i-1 i−1 位中比第 i i i 位小的個數（ i i i 為從右往左）。

舉例說明

  已知 S e t = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } Set = \{1,2,3,4,5 \} Set={1,2,3,4,5} ，求 n = = 34152 n==34152 n==34152 在 S e t Set Set 全排列從小到大排序後在第幾位。

在 35142 35142 35142 中，不論從左向右還是從右向左開始建立（不是 i i i 的順序， i i i 都是從右向左），我們都可以得到以下這張表。

從左向右為例解釋：

• n 5 = 3 n_5 = 3 n5​=3 ，在後面4位中，有 1 1 1 和 2 2 2 小於 n 5 n_5 n5​，於是 a 5 = 2 a_5=2 a5​=2
• n 4 = 4 n_4 = 4 n4​=4 ，在後面3位中，有 1 1 1 和 2 2 2 小於 n 4 n_4 n4​，於是 a 4 = 2 a_4=2 a4​=2
• n 3 = 1 n_3 = 1 n3​=1 ，在後面2位中，沒有數小於 n 3 n_3 n3​，於是 a 3 = 0 a_3=0 a3​=0
• n 2 = 5 n_2 = 5 n2​=5 ，在後面1位中，有 2 2 2 小於 n 2 n_2 n2​，於是 a 2 = 1 a_2=1 a2​=1
• n 1 = 2 n_1 = 2 n1​=2 ，在後面0位中，沒有數小於 n 1 n_1 n1​，於是 a 1 = 0 a_1=0 a1​=0

根據公式可得：

所以 34152 34152 34152 前面的排列共有 61 61 61 個，結果就是 61 + 1 = 62 61+1=62 61+1=62。

• 要注意康託展開值是某一排列之前有多少排列。

C/C++語言實現程式碼

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int cantor(int n)
{
    const int factorial[] = {1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320}; //階乘預處理
    stringstream ss;
    ss << n;
    string s = ss.str();
    int num = s.length(), x = 0, temp;
    for (int i = 0; i < num; i++)
    {
        temp = 0;
        for (int j = i + 1; j < num; j++)
            if (s[i] > s[j])
                temp++;
        x += temp * factorial[num - i - 1];
    }
    return x + 1;
}

int main(int argc, char *argv[])
{
    int n;

    cin >> n;
    cout << cantor(n) << endl;

    return 0;
}

逆康託展開

  逆康託展開只需要將康託展開的過程反過來即可，將序號減一後，依次對階乘作商取餘。程式碼如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int decantor(int n, vector<int> v)
{
    const int factorial[] = {1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320}; //階乘預處理
    int num = v.size();
    stringstream ss;
    n--;
    for (int i = 0; i < num; i++)
    {
        int temp = n / factorial[num - i - 1];
        n %= factorial[num - 1 - i];
        ss << v[temp];
        v.erase(v.begin() + temp);
    }
    return atoi(ss.str().c_str());
}

int main(int argc, char *argv[])
{
    int n, temp;
    vector<int> vec;
    vec.clear();

    cout << "input index: ";
    cin >> n;
    cout << "input set, end with -1:" << endl;
    while (cin >> temp, temp != -1)
        vec.push_back(temp);
    sort(vec.begin(), vec.end());

    cout << decantor(n, vec) << endl;
    return 0;
}