技術標籤：數論尤拉降冪數論

（本篇沒有涉及公式的推導）

尤拉函式：

就是對於一個正整數n，小於n且和n互質的正整數的個數記做φ(n) 。

尤拉函式的通式：

φ(n) = n * ( 1 - 1 / p1) ( 1 - 1 / p2 ) ( 1 - 1 / p3 ) * ( 1 - 1 / p4 )……( 1 - 1 / pn )

其中p1,p2……pn為n的所有質因子，n是不為0的整數。（唯一和1互質的數就是1本身）。

所以根據通式可以打出以下程式碼：

ll eular(ll n)
{
    ll ans=n;
    for(int i=2;i*i<=n;i++)
    {
        if
 
(n%i==0)
        {
            ans=ans/i*(i-1);
            while(n%i==0)
                n=n/i;
        }
    }
    if(n>1) ans=ans/n*(n-1);
    return ans;
}

尤拉定理：

在數論中，尤拉定理，（也稱費馬——尤拉定理）是一個關於同餘的性質。尤拉定理表明，若n和a為正整數，且n，a互質，則：

尤拉降冪

第一個要求a和p互質，第二個和第三個是廣義的尤拉降冪，但要求b和φ( p)的關係 。

模板：

求A^BmodC

#include<bits/stdc++.h>
 

using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=1e6+10;
char b[N];
LL a,c;
LL quick_pow(LL x,LL y,LL z)
{
    LL ans=1;
    while(y)
    {
        if(y%2) ans=ans*x%z;
        x=x*x%z;
        y=y/2;
    }
    return ans;
}
LL phi(LL n)    //求尤拉函式
{
    LL ans=n;
    for(int i=2;i*i<=n;i++)
    {
 

        if(n%i==0)
        {
            ans=ans-ans/i;
            while(n%i==0)
                n=n/i;
        }
    }
    if(n>1) ans=ans-ans/n;
    return ans;
}
int main()
{
    cin>>a>>b>>c;
    int len=strlen(b);
    LL p=phi(c);
    LL ans=0;
    for(int i=0;i<len;i++)
        ans=(ans*10+b[i]-'0')%p;
    ans=ans+p;
    cout<<quick_pow(a,ans,c)<<endl;
    //system("pause");
    return 0;
}

經典擴充套件

（洛谷）P4139 上帝與集合的正確用法

題目傳送門：

上帝與集合的正確用法

題目大意：

首先我們可以根據擴充套件尤拉定理：

得到：

很顯然這是一個遞迴的式子，邊界條件為p=1，此時式子的值為0。而對於φ§，我們可以線性篩處理。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=1e7+10;
int n,tot,p[N],phi[N];
bool flag[N];
void pre()
{
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<N;i++)
    {
        if(!flag[i])
        {
            p[++tot]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=1;j<=tot&&i*p[j]<N;j++)
        {
            flag[i*p[j]]=1;
            if(i%p[j]==0)
            {
                phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];
                break;
            }
            else
                phi[i*p[j]]=phi[i]*phi[p[j]];
        }
    }
}
LL quick_pow(LL x,LL y,LL mod)
{
    LL ans=1;
    while(y)
    {
        if(y%2) ans=ans*x%mod;
        x=x*x%mod;
        y=y/2;
    }
    return ans;
}
LL solve(int p)
{
    if(p==1) return 0;
    return quick_pow(2,solve(phi[p])+phi[p],p);
}
int main()
{
    pre();
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        int p;
        scanf("%d",&p);
        printf("%lld\n",solve(p));
    }
    //system("pause");
    return 0;
}