技術標籤：演算法動態規劃

一 概述

揹包問題(Knapsack problem)是一種組合優化的NP完全問題。問題可以描述為：給定一組物品，每種物品都有自己的重量和價格，在限定的總重量內，我們如何選擇，才能使得物品的總價格最高。問題的名稱來源於如何選擇最合適的物品放置於給定揹包中。

二 動態規劃演算法分析

1 紅色箭頭是計算順序。

從最後一行，依次計算到第一行。

對於每一行，依次從第一列計算到最後一列。

2 橙色箭頭是回溯順序。

三 C++程式碼

// knapsack-problem.cpp : 此檔案包含 "main" 函式。程式執行將在此處開始並結束。

// 執行程式: Ctrl + F5 或除錯 >“開始執行(不除錯)”選單
// 除錯程式: F5 或除錯 >“開始除錯”選單

// 0-1揹包問題：動態規劃演算法。
#include <iostream> 
using namespace std;

// 物品數量
const int N = 4;

void Knapsack(int v[], int w[], int c, int n, int m[][10]);
void Traceback(int m[][10], int w[], int c, int n, int x[]);

int main()
{
	// 揹包容量
	int c = 8;
	// 價值陣列
	int v[] = { 0,2,1,4,3 };
	// 重量陣列
    int w[] = { 0,1,4,2,3 };
	// 放置物品陣列
	int x[N + 1];
	// 最大價值陣列
	int m[10][10];

	cout << "待裝物品重量分別為：" << endl;
	for (int i = 1; i <= N; i++)
	{
		cout << w[i] << " ";
	}
	cout << endl;

	cout << "待裝物品價值分別為：" << endl;
	for (int i = 1; i <= N; i++)
	{
		cout << v[i] << " ";
	}
	cout << endl;

	Knapsack(v, w, c, N, m);

	cout << "揹包能裝的最大價值為：" << m[1][c] << endl;

	Traceback(m, w, c, N, x);

	cout << "揹包裝下的物品編號為：" << endl;

	for (int i = 1; i <= N; i++)
	{
		if (x[i] == 1)
		{
			cout << i << " ";
		}
	}
	cout << endl;

	return 0;
}

// 計算最大價值
void Knapsack(int v[], int w[], int c, int n, int m[][10])
{
	// 揹包容量閾值
	int jMax = min(w[n] - 1, c);

	// 第一步：填寫表格最後一行

	// 揹包容量小於等於閾值：不能將最後一個物品放入揹包，最大價值是0。
	for (int j = 0; j <= jMax; j++)
	{
		m[n][j] = 0;
	}

	// 揹包容量大於閾值：可以將最後一個物品放入揹包，最大價值就是最後一個物品的價值。
	for (int j = w[n]; j <= c; j++)
	{
		m[n][j] = v[n];
	}

	//第二步：填寫表格中間的行
	for (int i = n - 1; i > 1; i--)
	{
		// 重新計算閾值
		jMax = min(w[i] - 1, c);
		// 小於等於閾值，使用下一行該列的值
		for (int j = 0; j <= jMax; j++)
		{
			m[i][j] = m[i + 1][j];
		}

		// 大於閾值，取較大值：可能不放入本物品，也可能放入本物品。
		for (int j = w[i]; j <= c; j++) 
		{
			m[i][j] = max(m[i + 1][j], m[i + 1][j - w[i]] + v[i]);
		}
	}

	// 第三步：填寫表格第一行
	m[1][c] = m[2][c];
	if (c >= w[1])
	{
		m[1][c] = max(m[1][c], m[2][c - w[1]] + v[1]);
	}
}

// 回溯
void Traceback(int m[][10], int w[], int c, int n, int x[])
{
	for (int i = 1; i < n; i++)
	{
		if (m[i][c] == m[i + 1][c])
		{
			x[i] = 0;
		}
		else
		{
			x[i] = 1;
			// 重新計算剩餘容量
			c -= w[i];
		}
	}
	// 是否放入最後一個物品
	x[n] = (m[n][c]) ? 1 : 0;
}
 

四 計算複雜性分析

揹包（Knapsack）的時間複雜度O(n*c)，回溯（Traceback）的時間複雜度O(n)。