技術標籤：# FFT/NTT# 原根NTT原根

Description

小C有一個集合S，裡面的元素都是小於M的非負整數。他用程式編寫了一個數列生成器，可以生成一個長度為N的數列，數列中的每個數都屬於集合S。小C用這個生成器生成了許多這樣的數列。
但是小C有一個問題需要你的幫助：給定整數x，求所有可以生成出的，且滿足數列中所有數的乘積mod M的值等於x的不同的數列的有多少個。
小C認為，兩個數列{Ai}和{Bi}不同，當且僅當至少存在一個整數i，滿足Ai≠Bi。另外，小C認為這個問題的答案可能很大，因此他只需要你幫助他求出答案mod 1004535809的值就可以了。

Input
一行，四個整數，N、M、x、|S|，其中|S|為集合S中元素個數。

Output
一行，一個整數，表示你求出的種類數mod 1004535809的值。

Sample Input
4 3 1 2
1 2
Sample Output
8

【樣例說明】
可以生成的滿足要求的不同的數列有(1,1,1,1)、(1,1,2,2)、(1,2,1,2)、(1,2,2,1)、
(2,1,1,2)、(2,1,2,1)、(2,2,1,1)、(2,2,2,2)

solution

設 f [ i ] [ j ] f[i][j] f[i][j]：表示選了 i i i個數的乘積 % m = j \%m=j %m=j的方案數
f [ i < < 1 ] [ j ] = ∑ ( j 1 × j 2 ) % m = j f [ i ] [ j 1 ] × f [ i ] [ j 2 ] f[i<<1][j]=\sum_{(j_1\times j_2)\%m=j}f[i][j_1]\times f[i][j_2] f[i<<1][j]=(j1​×j2​)%m=j∑​f[i][j1​]×f[i][

code

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
#define int long long 
#define mod 1004535809
#define maxn 20000
int g, len = 1, inv;
int r[maxn], ans[maxn], f[maxn], fi[maxn];

int qkpow( int x, int y, int MOD ) {
	int ans = 1;
	while( y ) {
		if( y & 1 ) ans = ans * x % MOD;
		x = x * x % MOD;
		y >>= 1;
	}
	return ans;
}

void NTT( int *c, int f ) {
	for( int i = 0;i < len;i ++ )
		if( i < r[i] ) swap( c[i], c[r[i]] );
	for( int i = 1;i < len;i <<= 1 ) {
		int omega = qkpow( ( f == 1 ) ? 3 : mod / 3 + 1, ( mod - 1 ) / ( i << 1 ), mod );
		for( int j = 0;j < len;j += ( i << 1 ) ) {
			int w = 1;
			for( int k = 0;k < i;k ++, w = w * omega % mod ) {
				int x = c[j + k], y = w * c[j + k + i] % mod;
				c[j + k] = ( x + y ) % mod;
				c[j + k + i] = ( x - y + mod ) % mod;
			}
		}
	}
	if( f == -1 ) {
		for( int i = 0;i < len;i ++ )
			c[i] = c[i] * inv % mod;
	}
}

void root( int m ) {
	int phi = m - 1;
	for( int i = 2;i < m;i ++ ) {
		bool flag = 1;
		int x = phi;
		for( int j = 2;j * j <= x;j ++ ) {
			if( phi % j ) continue;
			while( x % j == 0 ) x /= j;
			if( qkpow( i, phi / j, m ) == 1 ) {
				flag = 0;
				break;
			}
		}
		if( x > 1 && qkpow( i, phi / x, m ) == 1 ) continue;
		if( flag ) {
			g = i;
			return;
		} 
	}
}

signed main() {
	int n, m, x, s;
	scanf( "%lld %lld %lld %lld", &n, &m, &x, &s );
	root( m );
	for( int i = 0;i < m - 1;i ++ ) fi[qkpow( g, i, m )] = i;
//g^i=_(mod m) 相乘轉化為指數相加 指數相加就可以用NTT暴艹卷積  
	for( int i = 1, a;i <= s;i ++ ) {
		scanf( "%lld", &a );
		if( ! a ) continue;
		else f[fi[a]] ++;
	}
	int l = 0;
	while( len <= ( ( m - 1 ) << 1 ) ) {
		len <<= 1;
		l ++;
	}
	inv = qkpow( len, mod - 2, mod );
	for( int i = 0;i < len;i ++ )
		r[i] = ( r[i >> 1] >> 1 ) | ( ( i & 1 ) << ( l - 1 ) );
	ans[0] = 1;
	while( n ) {
		if( n & 1 ) {
			NTT( f, 1 );
			NTT( ans, 1 );
			for( int i = 0;i < len;i ++ ) ans[i] = ans[i] * f[i] % mod;
			NTT( f, -1 );
			NTT( ans, -1 );
			for( int i = m - 1;i < len;i ++ )
//a^b=_(%p)<=>a^[b%phi(p)]=_(%p) 指數以m-1為一個迴圈節 在%m後應該都是一樣的 對最後%m=x的答案可能會有貢獻 
				ans[i % ( m - 1 )] = ( ans[i % ( m - 1 )] + ans[i] ) % mod, ans[i] = 0;
		}
		NTT( f, 1 );
		for( int i = 0;i < len;i ++ ) f[i] = f[i] * f[i] % mod;
		NTT( f, -1 );
		for( int i = m - 1;i < len;i ++ ) 
			f[i % ( m - 1 )] = ( f[i % ( m - 1 )] + f[i] ) % mod, f[i] = 0;
		n >>= 1;
	}
	printf( "%lld\n", ans[fi[x]] );
	return 0;
}