技術標籤：資料結構# ST表# 狀態壓縮

原題連結：https://www.luogu.com.cn/problem/P5629

區間與除法

題目背景

SY 好不容易才解出QM給她的數學題，在恰午飯的時候，QM 向她的腦洞裡塞了個幻想的泡泡……SY 戳開一看，又是長長的一串數字!

SY 實在是不想思考了，她決定用小學的除法消滅她腦洞裡的數字.

題目描述

定義 o p op op 操作意義為將當前數除以 d d d 並向下取整.

SY 現在有 m m m 個“原數”，若一個數經過若干次 o p op op 操作(包括 0 0 0 次)後能變為這個“原數”，那麼這個數是可以被這個“原數”所消滅的。注意，“原數”是不會被消耗的.

現在 SY 想問你,對於一個區間 [ l , r ] [l,r] [l,r]，在消滅最多個數的前提下最少需要多少個“原數”？

輸入格式

第一行 4 4 4 個數,分別是 n , m , d , q n,m,d,q n,m,d,q,分別表示數列 { a } \{a\} {a} 元素個數，SY 擁有的 “原數” 個數， o p op op 操作引數，詢問個數。

第二行為 { a } \{a\} {a} 數列，即需要被消滅的數列。

第三行為 m m m 個“原數”。

接下來 q q q 行，每行兩個數 l l l 和 r r r，表示詢問區間為 [ l , r ] [l,r]

輸出格式

按照詢問順序，每一行輸出一個整數表示答案.

輸入輸出樣例

輸入 #1
2 3 3 3
0 20
6 6 6
1 1
2 2
1 2
輸出 #1
0
1
1
輸入 #2
6 3 3 3
6 5 10 15 19 7
2 5 10
1 6
1 4
4 6
輸出 #2
3
3
2

說明/提示

樣例解釋：

#樣例1 ： 20 20 20 經過一次 o p op op 操作（除以 3 3 3 向下取整）可以變成 6 6 6，而 0 0 0 不能經過若干次 o p op op 操作變成 6 6 6 。

所以區間 [ 1 , 1 ] [1,1] [1,1] 最多消滅 0 0 0 個數，消滅最多數前提下最少需要 0 0

#樣例2 ： 2 2 2 能消滅 { 6 , 19 , 7 } \{6,19,7\} {6,19,7} ， 5 5 5 能消滅 { 5 , 15 } \{5,15\} {5,15} ， 10 10 10 能消滅 { 10 } \{10\} {10} ， 所以區間 [ 1 , 6 ] , [ 1 , 4 ] [1,6],[1,4] [1,6],[1,4] 最少能用所有 “原數” 全部消滅，區間 [ 4 , 6 ] [4,6] [4,6] 能用 2 , 5 2,5 2,5 全部消滅。

資料範圍：

對於 30 % 30\% 30% 的資料： n ≤ 100 , m ≤ 10 , d = 2 , q ≤ 10 n\le100,m\leq10, d=2, q\le 10 n≤100,m≤10,d=2,q≤10

對於 100 % 100\% 100% 的資料： n ≤ 5 × 1 0 5 , m ≤ 60 , 2 ≤ d ≤ 10 , q ≤ 1 0 6 , 0 ≤ a i , b i ≤ 2 63 n\le5\times 10^{5},m\leq60,2\leq d\leq10,q\le10^{6},0\le a_i,b_i\le 2^{63} n≤5×105,m≤60,2≤d≤10,q≤106,0≤ai​,bi​≤263

特殊性質：資料經過構造。

題解

比較好想，因為 d d d是固定的，所以一個數能不能被原數消滅是可以預處理出來的。同時原數也有可能被另一個原數消滅，所以我們需要先“化簡”一下原數集合，把能被其他原數消滅的原數刪去，再將原數排好序，方便後續的查詢。

因為一個原數可以消滅多個數，需要合併區間的資訊，看到 m ≤ 60 m\le 60 m≤60，直接明示狀態壓縮，用一個long long的 63 63 63個二進位制位就可以完美表示出整個區間需要的原數狀態，並且能做到 O ( 1 ) O(1) O(1)合併。再看到詢問 1 0 6 10^6 106，明示卡 O ( l o g 2 n ) O(log_2n) O(log2​n)演算法，就自然想到 S T \mathcal{ST} ST表，於是這題就做完了。

程式碼

思路簡單，但是為什麼沒有一次過呢，又雙叒叕是因為™的long long，