技術標籤：重要推式子

FMT與子集卷積

求 C x = ∑ i ⋃ j = x a i ∗ b j C_x = \sum_{i\bigcup j = x}a_i*b_j Cx​=∑i⋃j=x​ai​∗bj​

sol.

構造一個 F M T ( A ) = ∑ i ⊂ x a i FMT(A) = \sum_{i\subset x}a_i FMT(A)=∑i⊂x​ai​
F M T x ( A ) ∗ F M T x ( B ) = ∑ k ⊂ x ∑ i ⋃ j = k a i ∗ b j = ∑ k ⊂ x C k = F M T x ( C ) FMT_x(A) * FMT_x(B) = \sum_{k \subset x}\sum_{i \bigcup j = k}a_i*b_j\\ =\sum_{k \subset x}C_k\\ = FMT_x(C)

考慮如何快速構造這個 F M T ( A ) FMT(A) FMT(A)

很顯然的一個事情 F M T ( A ) = F M T ( A 0 ) + F M T ( A 1 ) [ 用 二 進 制 表 示 集 合 ， 分 別 有 沒 由 前 面 的 第 一 個 元 素 ] FMT(A) = FMT(A_0) + FMT(A1) [用二進位制表示集合，分別有沒由前面的第一個元素] FMT(A)=FMT(A0​)+FMT(A1)[用二進制表示集合，分別有沒由前面的第一個元素]

那麼可以直接二進位制倍增來寫。。。

for(int len = 2 ; len <= n ; len = (len << 1)){
    for(int i = 0 ; i <= n ; i = i + len){
        for(int j = 0 ; j < (len >> 1) ; j++){
            f[i + j + (len >> 1)] += f[i + j];
        }
    }
}

大概就像這樣就可以了

逆FMT的話如下

for(int len = 2 ; len <= n ; len = (len << 1)){
    for(int i = 0 ; i <= n ; i = i + len){
        for(int j = 0 ; j < (len >> 1) ; j++){
            f[i + j] -= f[i + j + (len >> 1)];
        }
    }
}
 

就可以做掉了。。。。

FWT是這個玩意的加強版,專門來處理二進位制操作卷積的

o r or or卷積，就是上面的FMT

a n d and and卷積:

需要構造一個 F M T ( A ) FMT(A) FMT(A)使得， F W T ( A ) x ∗ F W T ( B ) x = F W T ( C ) x FWT(A)_x * FWT(B)_x = FWT(C)_x FWT(A)x​∗FWT(B)x​=FWT(C)x​

即:
∑ i & x = x a i ∗ ∑ j & x = x b j = ∑ ( i & j ) & x = x a i ∗ b j = ∑ i & x = x c i \sum_{i \& x = x}a_i* \sum _ {j \& x = x}b_j = \sum_{(i \& j) \& x = x}a_i * b_j = \sum_{i \& x = x}c_i i&x=x∑​ai​∗j&x=x∑​bj​=(i&j)&x=x∑​ai​∗bj​=i&x=x∑​ci​

所以需要構造出:
F W T x ( A ) = ∑ i & x = x a i FWT_x(A) = \sum_{i \& x = x}a_i FWTx​(A)=i&x=x∑​ai​

大概就是這樣

for(int len = 2 ; len <= n ; len = (len << 1)){
    for(int i = 0 ; i <= n ; i = i + len){
        for(int j = 0 ; j < (len >> 1) ; j++){
            f[i + j] = f[i + j] + f[i + j + (len >> 1)];
        }
    }
}

xor卷積:

需要構造一個 F M T ( A ) FMT(A) FMT(A)使得， F W T ( A ) x ∗ F W T ( B ) x = F W T ( C ) x FWT(A)_x * FWT(B)_x = FWT(C)_x FWT(A)x​∗FWT(B)x​=FWT(C)x​

即
∑ i x o r x = x a i ∑ j x o r x = x b j = \sum_{i \ xor\ x\ =\ x}a_i \sum_{j \ xor \ x \ = \ x}b_j = ixorx=x∑​ai​jxorx=x∑​bj​=

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補一個證明
g ( x , j ) ∗ g ( x , k ) = ( − 1 ) ∣ j ⋂ x ∣ + ∣ k ⋂ x ∣ = ( − 1 ) ( j x o r k ) ⋂ x g(x,j) * g(x , k) = (-1)^{|j\bigcap x| + |k\bigcap x|} = (-1)^{(j \ xor \ k) \bigcap x} g(x,j)∗g(x,k)=(−1)∣j⋂x∣+∣k⋂x∣=(−1)(jxork)⋂x
很顯然的東西吖。。。。

所以就有程式碼

for(int len = 2 ; len <= n ; len = (len << 1)){
    for(int i = 0 ; i <= n ; i += len){
        for(int j = 0 ; j < (len << 1) ; j++){
            int A = f[i + j] , B = f[i + j + k];
            f[i + j] = A + B;
            f[i + j + k] = A - B;
        }
    }
}

很顯然的吧

逆的話，程式碼如下

for(int len = 2 ; len <= n ; len = (len << 1)){
    for(int i = 0 ; i <= n ; i += len){
        for(int j = 0 ; j < (len << 1) ; j++){
            int A = f[i + j] , B = f[i + j + k];
            f[i + j] = (A + B) / 2;
            f[i + j + k] = (A - B) / 2;
        }
    }
}

FWT可以用來做一些高維字首和的問題

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很顯然就是 A L L = ∑ ( − 1 ) ∣ 與 n o w 相 關 的 維 度 ∣ a n o w ALL = \sum (-1)^{|與now相關的維度|}a_{now} ALL=∑(−1)∣與now相關的維度∣anow​

與上面異或的定義 g ( x , i ) g(x,i) g(x,i)非常的相似（實際上就是同一個玩意）

實際上就是一個xor卷積的事情。。。。

入門題：luoguP3175 [HAOI2015]按位或

很容易列出方程
f [ i ] = ∑ j ∑ ( k ∣ j ) = i ( f [ k ] + 1 ) ∗ p [ j ] f [ i ] = ∑ j ! = i ∑ ( k ∣ j ) = i ( f [ k ] + 1 ) ∗ p [ j ] + ∑ k ∣ i = i ( f [ i ] + 1 ) ∗ p [ k ] f [ i ] = ∑ j ! = i ∑ ( k ∣ j ) = i ( f [ k ] + 1 ) ∗ p [ j ] + ∑ k ∣ i = i p [ k ] 1 − ∑ k ∣ i = i p [ k ] f[i] = \sum_{j}\sum_{(k|j) \ =\ i}(f[k] + 1) * p[j]\\ f[i] = \sum_{j != i}\sum_{(k|j) \ =\ i}(f[k] + 1) * p[j] + \sum_{k | i\ =\ i}(f[i] + 1) * p[k]\\ f[i] = \frac {\sum_{j != i}\sum_{(k|j) \ =\ i}(f[k] + 1) * p[j] + \sum_{k | i\ =\ i}p[k]} {1 - \sum_{k | i\ =\ i}p[k]} f[i]=j∑​(k∣j)=i∑​(f[k]+1)∗p[j]f[i]=j!=i∑​(k∣j)=i∑​(f[k]+1)∗p[j]+k∣i=i∑​(f[i]+1)∗p[k]f[i]=1−∑k∣i=i​p[k]∑j!=i​∑(k∣j)=i​(f[k]+1)∗p[j]+∑k∣i=i​p[k]​

s o l 1. 解 決 分 母 的 快 速 計 算 ， 直 接 對 { p } 做 一 個 f w t 就 好 了 ， s o l 2. 分 子 第 二 項 同 s o l 1. s o l 3. 分 子 第 一 項 最 爛 每 一 次 都 要 做 一 個 F W T O ( 2 n ∗ 2 n ∗ n ) sol1.解決分母的快速計算，直接對\{p\}做一個fwt就好了，\\ sol2.分子第二項同sol1.\\ sol3.分子第一項最爛每一次都要做一個FWT\\ O(2^n * 2 ^ n * n) sol1.解決分母的快速計算，直接對{p}做一個fwt就好了，sol2.分子第二項同sol1.sol3.分子第一項最爛每一次都要做一個FWTO(2n∗2n∗n)
很顯然是不行的吧。。。

本人只能想到這種。。。

如果能做到動態維護 FWT卷積的話，這個式子還是很好做的。。。

。。。。

正解是 min-max容斥。。。。

我先去補一下二項式反演的坑

就好了，\
sol2.分子第二項同sol1.\
sol3.分子第一項最爛每一次都要做一個FWT\
O(2^n * 2 ^ n * n)
$$
很顯然是不行的吧。。。

本人只能想到這種。。。

如果能做到動態維護 FWT卷積的話，這個式子還是很好做的。。。

。。。。

正解是 min-max容斥。。。。

我先去補一下二項式反演的坑