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• 1、一隻青蛙一次可以跳上1級臺階，也可以跳上2級。求該青蛙跳上一個n級的臺階總共有多少種跳法。
• 遞迴的方法
• 動態規劃的方法
• 動態規劃的節省空間版
• 2、一隻青蛙一次可以跳上1級臺階，也可以跳上2級，還可以跳3級。求該青蛙跳上一個n級的臺階總共有多少種跳法。
• 3、一隻青蛙一次可以跳上1級臺階，也可以跳上2級……它也可以跳上n級。求該青蛙跳上一個n級的臺階總共有多少種跳法?

1、一隻青蛙一次可以跳上1級臺階，也可以跳上2級。求該青蛙跳上一個n級的臺階總共有多少種跳法。

我們要跳上第 n 級臺階，要麼從第 n−1級臺階跳一級上來，要麼從第 n−2級臺階跳兩級上來，令 f(n)表示從第一級臺階跳上第 n 級臺階有幾種跳法。則有：
f(n)=f(n−1)+f(n−2)

先確定n=1，f(1)=1，n=2，f(2)=2，
f(3)=f(2)+f(1)，f(4)=f(3)+f(2)，

遞迴的方法

首先考慮遞迴，出口是n=1，或者n=2。返回f(1)，f(2)，其餘的返回 f(n−1)+f(n−2)。

程式碼如下

#include <iostream>

using std::cin;
using std::cout;
using std::endl;

int JumpFloor(int num)
{   
	if (num == 1) return 1;
	if (num == 2) return 2;
	else return JumpFloor(num - 1) + JumpFloor(num - 2);
}

int main()
{
	int num, jumpCount;
	cin >> num;
	jumpCount = JumpFloor(num);
	cout << jumpCount << endl;
	return 0;
}
 

動態規劃的方法

還可以用動態規劃（這估計是最簡單的動態規劃了），求出跳到1--n之間所有臺階的方法數

#include <iostream>

using std::cin;
using std::cout;
using std::endl;

int JumpFloor1(int num)
{
	int result[1001];
	result[1] = 1;
	result[2] = 2;
	for (int i = 3; i <= num; i++) {
		result[i] = result[i - 1] + result[i - 2];
	}
	return result[num];
}

int main()
{
	int num, jumpCount;
	cin >> num;
	jumpCount = JumpFloor1(num);
	cout << jumpCount << endl;
	return 0;
}
 

動態規劃的節省空間版

#include <iostream>

using std::cin;
using std::cout;
using std::endl;

int JumpFloor2(int num) 
{
	int result[3];
	result[0] = 1;
	result[1] = 2;
	for (int i = 3; i <= num; i++) {
		result[2] = result[0] + result[1];
		result[0] = result[1];
		result[1] = result[2];
	}
	return result[2];
}

int main()
{
	int num, jumpCount;
	cin >> num;
    jumpCount = JumpFloor2(num);
	cout << jumpCount << endl;
	return 0;
}

2、一隻青蛙一次可以跳上1級臺階，也可以跳上2級，還可以跳3級。求該青蛙跳上一個n級的臺階總共有多少種跳法。

分析一樣，不細說了，公式如下
f(n)=f(n−1)+f(n−2)+f(n-3)

就用遞推來寫了，其他的自己一品就出來了。

#include <iostream>

using std::cin;
using std::cout;
using std::endl;

int JumpFloor(int num)
{   
	if (num == 1)   return 1;
	if (num == 2)   return 2;
	if (num == 3)   return 4;
	else return JumpFloor(num - 1) + JumpFloor(num - 2) + JumpFloor(num - 3);
}

int main()
{
	int num, jumpCount;
	cin >> num;
	jumpCount = JumpFloor(num);
	cout << jumpCount << endl;
	return 0;
}

3、一隻青蛙一次可以跳上1級臺階，也可以跳上2級……它也可以跳上n級。求該青蛙跳上一個n級的臺階總共有多少種跳法?

有意思不，嘻嘻嘻，分析也是一樣的，不過要遞推一下。
要跳上第 n 級臺階，可以從第 n−1級臺階一次跳上來，也可以可以從第 n−2級臺階一次跳上來，也可以可以從第 n−3級臺階一次跳上來，…，也可以可以從第 1 級臺階一次跳上來。那麼問題就很簡單啦，同樣的，令 f(n) 表示從第一級臺階跳上第 n 級臺階有幾種跳法。則有如下公式：
f(n)=f(n−1)+f(n−2)+...+f(1)
同時，f(n−1) 也可以表示如下：
f(n−1)=f(n−2)+f(n−3)+...+f(1)

所以，由上面兩個公式可知：
f(n)=2f(n−1)
那麼,替換一哈，用n-1代替n，則有：
f(n-1)=2f(n-2)

所以
f(n)=2¹f(n−1)=2²f(n-2)=2³f(n−3)=...=2⁽ⁿ⁻¹⁾f(n−(n−1))=2⁽ⁿ⁻¹⁾f(1)

因為 f(1)=1，所以 f(n)=2⁽ⁿ⁻¹⁾f(1)=2⁽ⁿ⁻¹⁾。

#include <iostream>

using std::cin;
using std::cout;
using std::endl;

int main()
{
	int num, jumpCount;
	cin >> num;
	jumpCount = 1<<(num-1);
	cout << jumpCount << endl;
	return 0;
}