隱式轉換關係

精度丟失

上圖中虛線表示轉換過程中存在精度丟失問題，因為與其它資料型別的十進位制直接轉換為二進位制不同，float、double有其獨特的資料結構，如下所示：

float舉例分析

以float為例進行分析，例如：12.15623，執行以下步驟：

1. 對整數位轉化為二進位制：除二取餘，倒序排列，即整數依次除二直到商為0或1的時候結束，然後將餘數倒序寫出，不足位高位補0

12/2    0   低位
6/2     0
3/2     1
1/2     1   高位
12 = 0000 1100B
 

2. 對小數位轉換為二進位制：乘二取整，順序排列，即小數位*2，取計算結果的整數位排列，直到小數部分為0，不足位進行低位補0

0.15623*2 = 0.31246   0
0.31246*2 = 0.62492   0
0.62492*2 = 1.24984   1
0.24984*2 = 0.49968   0
0.49968*2 = 0.99936   0
0.99936*2 = 1.99872   1
0.99872*2 = 1.99744   1
0.99744*2 = 1.99488   1 
...
0.15623 = 0.00100111111111101011000001110100101001110111001

存在無限迴圈或者小數位過多的情況，例如：float尾數位23bit表示，這也是浮點數無法精確表示的原因之一

3. 12.15623的完整二進位制為：1100.00100111...，可通過線上進位制轉換驗證
4. 根據IEEE 754標準，其實際表示形式為：$ v = (-1)^{sign} \times M \times 2^E $

• M：尾數，M = 1 + f，其中$ 0 \le f < 1 \(，f的二進位制表示為\) 0.f_{n-1}...f_1f_0 \(，因此M的二進位制可以看做是\) 1.f_{n-1}...f_1f_0 \(，可通過對12.15623的二進位制進行位移使尾數M的範圍保持在\) 1 \le M <2 $，向右移3位變為：1.10000100111...。實際就是轉化為二進位制科學計數，由於尾數最高位總是為1，所以高位直接隱去
  ，12.15623的尾數即為10000100111111111101011，float用23位表示，double用52位表示，所以才有了精度的不同
• E：指數，E = 位移數(右移取整數，反之取負數，也可以理解為二進位制計數法的指數) + 127，因此，12.15623的指數E = 3 + 127 = 130，轉化為二進位制為：10000010。float指數位有8位，但實際指數需要減去127，也就是$ 2^7 $ = 128，所以float的最大範圍是$ -2^{128} \sim 2^{128} $
• 根據float的儲存結構：1位符號位+8位指數位+23位尾數位，12.15623實際儲存為：
  \(\color{#4285f2}{0}\color{#ea4335}{1000001}\quad\color{#ea4335}{0}\color{#34a853}{1000010}\quad\color{#34a853}{01111111}\quad\color{#34a853}{11101011}\)

結果驗證

反向推導

\(\color{#4285f2}{0}\color{#ea4335}{1000001}\quad\color{#ea4335}{0}\color{#34a853}{1000010}\quad\color{#34a853}{01111111}\quad\color{#34a853}{11101011}\)

• 尾數M高位為1，補1後 = 1.1000010 01111111 11101011
• 指數E = 1000 0010B = 130，位移數 = 130 -127 = 3
• 實際尾數M左移3位即為實際二進位制： 1100.0010 01111111 11101011
• 二進位制轉換為十進位制，過程如下：
  \(12+(1/8+1/64+1/128+1/256+1/512+1/1024+1/2048+1/4096+1/8192+1/16384+1/32768+1/131072+1/524288+1/1048576)\)
  \(value = 12+0.15622997283935547 = 12.15622997283935547\)

公式推導

\(value = (-1)^{sign} \times (1+\sum_{i=1}^{23} b_{23-i}2^{-i})\times2^{e-127}\)

求和展開後如下：

\(value = (-1)^{sign} \times (1+b_{22}2^{-1}+b_{21}2^{-2}+...+b_{0}2^{-23}) \times2^{e-127}\)

其中\(b_n2^{n-23}\)，當尾數位為0時結果都是0，可直接忽略。因此，尾數位求和只取尾數位等於1的即可。\(\color{#4285f2}{0}\color{#ea4335}{1000001}\quad\color{#ea4335}{0}\color{#34a853}{1000010}\quad\color{#34a853}{01111111}\quad\color{#34a853}{11101011}\)代入公式為：

\(value = (-1)^0 \times (1+2^{-1}+2^{-6}+2^{-9\sim-18}+2^{-20}+2^{-22}+2^{-23}) \times2^{130-127}\)

\(value = 1 \times (1+1/2+1/64+1/512+1/1024+1/2048+1/4096+1/8192+1/16384+1/32768+1/65536+1/131072+1/262144+1/1048576+1/4194304+1/8388608) \times2^3\)

\(value = 1 \times 1.5195287466049194 \times 8 = 12.156229972839355\)

精度的計算

還是以float舉例，尾數一共23位，加上隱藏位1，實際有24位，所能表示的取值範圍\([0,2^{24}-1]\)，最大值為16777215，轉化為二進位制科學計數法為\(1.1111111 11111111 1111111 * 2^{23}\)。比這個大的數小數位已經是24位了，儲存時超出的位數就被捨棄掉了。因此，可以得出以下結論：

• 小於16777215的整數都可以精確表示
• 小於16777215的非整數可能不能精確表示，因為小數轉化為二進位制位數不能保證，且可能存在無限迴圈的情況。如果是是16777215以內的整數乘以\(2^{-n}\)即可精確表示。例如：（16777214*1/2048=8191.9990234375，其二進位制為\(1.1111111111111111111111*2^{12}\)，儲存不會出現精度丟失，但是java中列印為：8191.999，預設顯示8位）
• 超出16777215的整數可能不能精確表示，即存在可以精確表示的。如果剛好是\(2^n\)，或者是16777215以內的整數乘以\(2^n\)，這樣超出的位數都是0，例如：33554432其二進位制科學計數法為\(1.0000000 00000000 00000000*2^{25}\)
• 超出16777215的非整數不能精確表示，小數位肯定被丟棄了

最終結論：精度是由尾數的位數來決定的，浮點數在記憶體中是按科學計數法來儲存的，其整數部分始終是1，由於它是不變的，故不能對精度造成影響。數學領域的精度一般指有效位數，即十進位制位數。因此，結論如下：

• float：2^23 = 8388608，一共七位，最多能有7位有效數字，能絕對保證前6位，第7位可能存在舍入的情況，即float的精度為6~7位有效數字
• double：2^52 = 4503599627370496，一共16位，同理，double的精度為15~16位

疑問

印象中float的整數位+小數位一共8位，例如：

- (float)10/3=3.3333333
- (float)1/3=0.33333334

再看以下程式碼：

System.out.println(0.100000024f);
System.out.println(0.100000025f);
System.out.println(0.100000026f);
System.out.println(0.100000027f);
System.out.println(0.100000028f);

輸出結果如下：

0.100000024
0.100000024
0.100000024
0.100000024
0.10000003

0.100000024~0.100000027輸出都是0.100000024，小數位9位，0.100000028就變成0.10000003，小數位8位，為什麼？？

1. 先轉化為對應的二進位制：

0.100000024=0.000110011001100110011010000 00000101011011110000100001011
0.100000025=0.000110011001100110011010000 00100111110010110010000000101
0.100000026=0.000110011001100110011010000 01001010001001110011011111111
0.100000027=0.000110011001100110011010000 01101100100000110100111111001
0.100000028=0.000110011001100110011010000 10001110110111110110011110011

2. 再二進位制科學計數法：

• 0.100000024=1.10011001100110011010000*\(2^{-4}\)
• 0.100000025=1.10011001100110011010000*\(2^{-4}\)
• 0.100000026=1.10011001100110011010000*\(2^{-4}\)
• 0.100000027=1.10011001100110011010000*\(2^{-4}\)
• 0.100000028=1.10011001100110011010001*\(2^{-4}\)

由於尾數位只有23位，丟棄多餘部分，0.100000024~0.100000027的資料結構完全一樣，0.100000028由於第24位是1，捨棄時進位使23位變成了1，這就是差異部分

3. 代入上文中公式：

0.100000024如下：
\((1+1/2+1/16+1/32+1/256+1/512+1/4096+1/8192+1/65536+1/131072+1/524288)*2^{-4}=0.10000002384185791\)
0.100000028如下：
\((1+1/2+1/16+1/32+1/256+1/512+1/4096+1/8192+1/65536+1/131072+1/524288+1/8388608)*2^{-4}=0.10000003129243851\)

到這一步，可以看出其不同，但為什麼輸出0.100000024和0.10000003呢？

觀察結果如下：

• 0.10000002384185791比原數小，多取一位進行四捨五入，更接近原值
• 0.10000003129243851已經比原值大了，預設取8位，丟棄多餘的位數
• 還是一種是上文提到的8191.9990234375列印輸出為8191.999，可以精確表示，但是預設也只輸出8位

結論：

• 精度是指有效數字，和小數位的多少沒有必然聯絡，小數位是不定的
• float預設顯示的小數位並不代表其實際精度