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Description

\(n\) 個元素，一共構成 \(2^n\) 個集合，每個集合 \(s\) 有一個被選中的概率 \(p_s\)，保證 \(\sum_{s} p_s=1\)。選中一個集合後，集合裡所有元素的 tag 變為 1。問期望選多少次集合後，所有元素的 tag 都是 1。

Solution

一開始有一個並不正確的做法，認為每一位是獨立的，然後計算每一位被打上 tag 的期望時間，然後對所有時間取 max。可以這樣理解這個做法的錯誤所在，期望是對所有情況的平均估計，有些情況下，即使當前這個期望時間最大的元素被打上了 tag，也可能有其他元素沒有。所以直接取最大時間是錯的。

正確做法應該是將所有元素當做整體來考慮。\(E(max\{S\})\)

考慮 min-max 容斥，有

\(E(min\{S\})\) 即為 \(S\) 中至少有一個元素被打上標記的期望時間。如果能快速求這個，那麼 \(E(max\{S\})\) 就能通過 \(O(2^n)\) 的暴力列舉求出。

容易發現有

整理得到

\(S\)

#include<stdio.h>
#define db double

const int N=20;

int n,p,cnt[1<<N];
db a[1<<N],ans=0;

int main(){
    scanf("%d",&n); p=1<<n;
    for(int i=0;i<p;i++) scanf("%lf",&a[i]),cnt[i]=cnt[i>>1]+(i&1);
    for(int j=0;j<n;j++)
        for(int i=0;i<p;i++)
            if((1<<j)&i) a[i]+=a[i^(1<<j)];
    for(int i=1;i<p;i++) if(1-a[(p-1)^i]>1e-8) ans+=((cnt[i]&1)? 1:-1)/(1-a[(p-1)^i]);
    if(ans>1e-8) printf("%.8lf",ans);
    else printf("INF");
}