「題解」樹套樹 tree
阿新 • • 發佈：2021-06-20
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題目
題目描述
給你一個 \(n\) 個點的小樹（正常的樹），給你一個 \(m\) 個點的大樹，大樹的節點是一棵小樹，大樹的邊是跨越了兩棵小樹之間的邊，\(q\) 次詢問，求樹上距離。
\(1\leq n,m,q\leq 4\times 10^4\)。
題解
預處理
思路非常簡單，我們顯然可以通過一系列操作 \(\Theta(n)\) 或 \(\Theta(n\log_2n)\) 預處理，使得可以在 \(\Theta(1)\) 或者 \(\Theta(\log_2n)\) 求出小樹任意兩點間的距離。
大樹倍增
我們在大樹的每個節點儲存一點資訊：
- \(\texttt{fa}_i\)：編號為 \(i\) 的大樹節點在大樹上的祖先為 \(\texttt{fa}_i\)。
- \(\texttt{rt}_i\)：編號為 \(i\) 的大樹節點連線 \(\texttt{fa}_i\) 對應小樹節點為 \(\texttt{rt}_i\)；
- \(\texttt{ptr}_i\)：\(\texttt{rt}_i\) 在實際的樹中對應的祖先，也就是編號為 \(\texttt{fa}_i\) 中與 \(i\) 相連的小樹節點編號。
維護了以上資訊後，我們再維護 \(\texttt{dis}_i\)，表示 \(\texttt{rt}_i\) 到實際的樹的根的距離。
然後直接倍增加分類討論即可解決問題。
優化時間複雜度
不難看出，最簡單的做法的時間複雜度為 \(\Theta\left(n\log_2n+m\left(\log_2n+\log_2m\right)+q\left(\log_2n+\log_2m\right)\right)\)。
我們可以通過 \(\Theta(n)\) 構造的 ST 表輕鬆將複雜度降到 \(\Theta(n+m+q)\)，考慮到程式碼複雜度偏大，就沒有具體實現。
參考程式
參考程式的時間複雜度為 \(\Theta\left(n+m\left(\log_2n+\log_2m\right)+q\left(\log_2n+\log_2m\right)\right)\)
#pragma GCC optimize("Ofast")
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define reg register
typedef long long ll;
bool st;
#define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
static char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
#define flush() (fwrite(wbuf,1,wp1,stdout),wp1=0)
#define putchar(c) (wp1==wp2&&(flush(),0),wbuf[wp1++]=c)
static char wbuf[1<<21];int wp1;const int wp2=1<<21;
inline int read(void){
reg char ch=getchar();
reg int res=0;
while(!isdigit(ch)) ch=getchar();
while(isdigit(ch)) res=10*res+(ch^'0'),ch=getchar();
return res;
}
inline void writeln(reg int x){
static char buf[32];
reg int p=-1;
if(!x) putchar('0');
else while(x) buf[++p]=(x%10)^'0',x/=10;
while(~p) putchar(buf[p--]);
putchar('\n');
return;
}
inline void swap(reg int &x,reg int &y){
reg int tmp=x;
x=y,y=tmp;
return;
}
const int MAXN=4e4+5;
const int MAXLOG2N=16+1;
const int MAXM=4e4+5;
const int MAXLOG2M=16+1;
const int MAXQ=4e4+5;
int n,m,q;
namespace Small{
int cnt,head[MAXN],to[MAXN<<1],Next[MAXN<<1];
inline void Add_Edge(reg int u,reg int v){
Next[++cnt]=head[u];
to[cnt]=v;
head[u]=cnt;
return;
}
inline void Add_Tube(reg int u,reg int v){
Add_Edge(u,v),Add_Edge(v,u);
return;
}
int fa[MAXN],dep[MAXN];
int siz[MAXN],son[MAXN];
inline void dfs1(reg int u,reg int father){
siz[u]=1;
fa[u]=father;
dep[u]=dep[father]+1;
for(reg int i=head[u];i;i=Next[i]){
reg int v=to[i];
if(v!=father){
dfs1(v,u);
if(siz[son[u]]<siz[v])
son[u]=v;
}
}
return;
}
int top[MAXN];
inline void dfs2(reg int u,reg int father,reg int topf){
top[u]=topf;
if(!son[u])
return;
dfs2(son[u],u,topf);
for(reg int i=head[u];i;i=Next[i]){
reg int v=to[i];
if(v!=father&&v!=son[u])
dfs2(v,u,v);
}
return;
}
inline int LCA(reg int x,reg int y){
while(top[x]!=top[y])
if(dep[top[x]]>dep[top[y]])
x=fa[top[x]];
else
y=fa[top[y]];
return dep[x]<dep[y]?x:y;
}
inline int getDis(reg int x,reg int y){
return dep[x]+dep[y]-(dep[LCA(x,y)]<<1);
}
}
namespace Big{
int cnt,head[MAXN],to[MAXN<<1],st[MAXN<<1],ed[MAXN<<1],Next[MAXN<<1];
inline void Add_Edge(reg int u,reg int v,reg int s,reg int e){
Next[++cnt]=head[u];
to[cnt]=v,st[cnt]=s,ed[cnt]=e;
head[u]=cnt;
return;
}
inline void Add_Tube(reg int u,reg int v,reg int s,reg int e){
Add_Edge(u,v,s,e),Add_Edge(v,u,e,s);
return;
}
int fa[MAXM][MAXLOG2M],dep[MAXM];
int dis[MAXM];
int rt[MAXM],ptr[MAXM];
inline void dfs(reg int u,reg int father,reg int e,reg int s){
dep[u]=dep[father]+1;
fa[u][0]=father;
for(reg int i=1;(1<<i)<=dep[u];++i)
fa[u][i]=fa[fa[u][i-1]][i-1];
if(father)
rt[u]=e,ptr[u]=s,dis[u]=dis[father]+Small::getDis(s,rt[father])+1;
else
rt[u]=1,ptr[u]=0,dis[u]=0;
for(reg int i=head[u];i;i=Next[i]){
reg int v=to[i];
if(v!=father)
dfs(v,u,ed[i],st[i]);
}
return;
}
inline int LCA(int x,int y){
if(dep[x]>dep[y])
swap(x,y);
for(reg int i=MAXLOG2N-1;i>=0;--i)
if(dep[fa[y][i]]>=dep[x])
y=fa[y][i];
if(x==y)
return x;
for(reg int i=MAXLOG2N-1;i>=0;--i)
if(fa[x][i]!=fa[y][i])
x=fa[x][i],y=fa[y][i];
return fa[x][0];
}
inline pair<int,int> LCA_lower(int x,int y){
if(dep[x]>dep[y])
swap(x,y);
for(reg int i=MAXLOG2N-1;i>=0;--i)
if(dep[fa[y][i]]>dep[x])
y=fa[y][i];
if(fa[y][0]==x)
return make_pair(y,0);
if(dep[y]>dep[x])
y=fa[y][0];
for(reg int i=MAXLOG2N-1;i>=0;--i)
if(fa[x][i]!=fa[y][i])
x=fa[x][i],y=fa[y][i];
return make_pair(x,y);
}
}
bool ed;
int main(void){
n=read(),m=read(),q=read();
for(reg int i=1;i<n;++i){
static int x,y;
x=read(),y=read();
Small::Add_Tube(x,y);
}
Small::dfs1(1,0),Small::dfs2(1,0,1);
for(reg int i=1;i<m;++i){
static int w,x,y,z;
w=read(),x=read(),y=read(),z=read();
Big::Add_Tube(w,y,x,z);
}
Big::dfs(1,0,1,0);
/*
puts("============");
puts("Small:");
for(reg int i=1;i<=n;++i)
printf("i=%d fa=%d dep=%d\n",i,Small::fa[i][0],Small::dep[i]);
puts("============");
puts("Big:");
for(reg int i=1;i<=m;++i)
printf("i=%d fa=%d dep=%d dis=%lld rt=%d ptr=%d\n",i,Big::fa[i][0],Big::dep[i],Big::dis[i],Big::rt[i],Big::ptr[i]);
puts("============");
*/
while(q--){
static int w,x,y,z,part1,part2,part3,bLca;
static pair<int,int> p;
w=read(),x=read(),y=read(),z=read();
//printf("query w=%d x=%d y=%d z=%d\n",w,x,y,z);
if(w==y){
//puts("S1");
writeln(Small::getDis(x,z));
}
else{
bLca=Big::LCA(w,y);
if(bLca==w||bLca==y){
//puts("S2");
if(bLca==y)
swap(w,y),swap(x,z);
p=Big::LCA_lower(w,y);
part1=Small::getDis(z,Big::rt[y]);
part2=Big::dis[y]-Big::dis[p.first];
part3=1+Small::getDis(Big::ptr[p.first],x);
//printf("part1=%d part2=%d part3=%d\n",part1,part2,part3);
writeln(part1+part2+part3);
}
else{
//puts("S3");
p=Big::LCA_lower(w,y);
part1=Small::getDis(x,Big::rt[w])+Small::getDis(z,Big::rt[y]);
part2=Big::dis[w]-Big::dis[p.first]+Big::dis[y]-Big::dis[p.second];
part3=2+Small::getDis(Big::ptr[p.first],Big::ptr[p.second]);
//printf("part1=%d part2=%d part3=%d\n",part1,part2,part3);
writeln(part1+part2+part3);
}
}
}
flush();
fprintf(stderr,"%.3lf s\n",1.0*clock()/CLOCKS_PER_SEC);
fprintf(stderr,"%.3lf MiB\n",(&ed-&st)/1048576.0);
return 0;
}