【洛谷5409】第一類斯特林數·列
阿新 • • 發佈:2021-06-23
- 給定\(n,m\),對於所有\(i=0\sim n\),求出\(S_2(i,m)\)。
- \(n,m<131072\)
第一類斯特林數·列
考慮單獨一個置換環,可以構造出第一列第一類斯特林數的指數型生成函式:
\[F(x)=\sum_{i=1}^n(i-1)!\frac{x^i}{i!}=\sum_{i=1}^n\frac1ix^i \]現在我們需要\(m\)個置換環,相當於是選出\(m\)個置換環拼在一起,然後除以\(m!\)去掉環的順序,也就是說答案的指數型生成函式就應該是:
\[\frac{F(x)^m}{m!} \]這裡涉及到多項式快速冪,注意\(F(x)\)的第\(0\)
程式碼:\(O(nlogn)\)
#include<bits/stdc++.h> #define Tp template<typename Ty> #define Ts template<typename Ty,typename... Ar> #define Reg register #define RI Reg int #define Con const #define CI Con int& #define I inline #define W while #define N 131072 #define X 167772161 using namespace std; int n,m,f[N+5]; I int QP(RI x,RI y) {RI t=1;W(y) y&1&&(t=1LL*t*x%X),x=1LL*x*x%X,y>>=1;return t;} int Fac[N+5],IFac[N+5];I void InitFac(CI S) { RI i;for(Fac[0]=i=1;i<=S;++i) Fac[i]=1LL*Fac[i-1]*i%X; for(IFac[i=S]=QP(Fac[S],X-2);i;--i) IFac[i-1]=1LL*IFac[i]*i%X; } namespace Poly//多項式模板 { #define PR 3 #define Init(n) P=1,L=0;W(P<=((n)<<1)) P<<=1,++L;for(i=0;i^P;++i) R[i]=R[i>>1]>>1|((i&1)<<L-1),A[i]=B[i]=0; int P,L,R[N<<2],A[N<<2],B[N<<2],t1[N+5],t2[N+5],t3[N+5]; I void NTT(int* s,CI op) { RI i,j,k,x,y,U,S;for(i=0;i^P;++i) i<R[i]&&(swap(s[i],s[R[i]]),0); for(i=1;i^P;i<<=1) for(U=QP(QP(PR,op),(X-1)/(i<<1)),j=0;j^P;j+=i<<1) for(S=1, k=0;k^i;++k,S=1LL*S*U%X) s[j+k]=((x=s[j+k])+(y=1LL*S*s[i+j+k]%X))%X,s[i+j+k]=(x-y+X)%X; if(op==X-2) {RI t=QP(P,X-2);for(i=0;i^P;++i) s[i]=1LL*s[i]*t%X;} } I void Inv(CI n,int* a,int* b) { if(!n) return (void)(b[0]=QP(a[0],X-2));RI i;Inv(n>>1,a,b); Init(n);for(i=0;i<=n;++i) A[i]=a[i],B[i]=b[i];NTT(A,1),NTT(B,1); for(i=0;i^P;++i) A[i]=(2LL*B[i]-1LL*A[i]*B[i]%X*B[i]%X+X)%X;for(NTT(A,X-2),i=0;i<=n;++i) b[i]=A[i]; } I void Ln(CI n,int* a,int* b) { RI i,j;for(i=0;i<=n;++i) b[i]=0;for(Inv(n,a,b),i=0;i^n;++i) t1[i]=1LL*a[i+1]*(i+1)%X;t1[n]=0; Init(n);for(i=0;i<=n;++i) A[i]=b[i],B[i]=t1[i];NTT(A,1),NTT(B,1); for(i=0;i^P;++i) A[i]=1LL*A[i]*B[i]%X;for(NTT(A,X-2),b[0]=0,i=1;i<=n;++i) b[i]=1LL*A[i-1]*QP(i,X-2)%X; } I void Exp(CI n,int* a,int* b) { if(!n) return (void)(b[0]=1);RI i;Exp(n>>1,a,b);Ln(n,b,t2); Init(n);for(i=0;i<=n;++i) A[i]=b[i],B[i]=(!i-t2[i]+a[i]+X)%X;NTT(A,1),NTT(B,1); for(i=0;i^P;++i) A[i]=1LL*A[i]*B[i]%X;for(NTT(A,X-2),i=0;i<=n;++i) b[i]=A[i]; } I void Pow(CI n,int* a,CI k) { Ln(n,a,t3);for(RI i=0;i<=n;++i) t3[i]=1LL*t3[i]*k%X,a[i]=0;Exp(n,t3,a); } } int main() { RI i;for(scanf("%d%d",&n,&m),InitFac(n),i=0;i^n;++i) f[i]=QP(i+1,X-2);//求出第一列除去原第0項的指數型生成函式 for(Poly::Pow(n-1,f,m),i=0;i<=min(n,m-1);++i) printf("0 ");//求出F(x)^m,在開頭添m個0 for(i=0;i<=n-m;++i) printf("%d ",1LL*f[i]*IFac[m]%X*Fac[i+m]%X);return 0;//除以m!去掉環的順序,由於是EGF答案要乘(i+m)! }