系列文章目錄：

• 感知機
• 線性迴歸
• 非線性問題
• 多項式迴歸
• 嶺迴歸
• 邏輯迴歸

演算法介紹

今天我們一起來學習使用非常廣泛的分類演算法：邏輯迴歸，是的，你沒有看錯，雖然它名字裡有迴歸，但是它確實是個分類演算法，作為除了感知機以外，最最最簡單的分類演算法，下面我們把它與感知機對比來進行學習；

從決策邊界上看

• 感知機：決策邊界就是類別的分界線，處於錯誤一側的點即為分類錯誤點；
• 邏輯迴歸：決策邊界表示分為正類和負類均為50%，資料點被分為正類的概率直觀上由其到決策邊界的距離決定；

以上，對於資料中的噪聲，假設噪聲點實際為負類，但是被分到正類一側，如果是感知機，則無法判斷，而邏輯迴歸以概率為基礎，如果該噪聲點實際被分為正類的概率僅為52%，那麼實際上它屬於負類的可能性也很大，即邏輯迴歸認為資料的產生是有一定隨機性的，相比於簡單的0或1，概率值更能表現其實際情況；

輸出函式

從決策邊界可知，感知機的輸出∈{+1,-1}，而邏輯迴歸的輸出為0~1的概率值：

• 感知機使用sign作為輸出函式：sign(wx+b)
• 邏輯迴歸使用sigmoid作為概率輸出函式：sigmoid(wx+b)，sigmoid=1/(1+e^-z)，這裡z=wx+b，可以看到當z=0時，也就是處於決策邊界時，此時sigmoid= 0.5，也就是50%，除此之外，z越大，sigmoid輸出越大，可以認為越有可能是正類，反之即為負類，且可以通過極限推導sigmoid區間為(0,1)；

如何看待邏輯迴歸選擇Sigmoid作為概率輸出函式呢，可以從以下幾個點來理解：

• sigmoid自身性質：
  1. 輸入是整個實數域，輸出是(0,1)，輸出不包含0和1，使得對於機器學習僅使用整體的一部分作為樣本進行訓練的場景，很適合處理未出現在樣本集中的類別；
  2. 影象曲線對於兩側極值不敏感，二分類的輸出符合伯努利分佈，輸入一般認為符合正態分佈，影象曲線也符合這一點；
  3. 易於求導，sigmoid函式的導數為S(wx+b)*(1-S(wx+b))，引數優化過程基本就是求導過程，因此易於求導很重要；
• 貝葉斯概率推導：
  1. sigmoid函式可以由伯努利、正態分佈+貝葉斯全概率公式推導得到；

損失函式

• 感知機：\(yi*sign(w*xi+b)\)，yi∈{-1,+1}，模型分類正確返回值為+1，錯誤返回值為-1，對所有樣本進行求和即可得到score值；
• 邏輯迴歸：\(ln(1+e^{-(yi*wxi)})\)，yi∈{-1,+1}，模型分類正確返回值>=0，錯誤返回值<0，負數絕對值越大，表示錯誤越嚴重，對所有樣本計算該誤差加起來求平均即為邏輯迴歸的誤差函式；

演算法推導

從概率角度看Sigmoid

Sigmoid給出了條件概率：

• 正類的分佈：\(P(Y=1|X) = Sigmoid(wx+b) = \frac{1}{1+e^{-(wx+b)}}\)，其中x~P(X)，y~P(Y)；
• 負類的分佈：\(P(Y=-1|X) = 1-Sigmoid(wx+b) = 1-\frac{1}{1+e^{-(wx+b)}}\)；

函式優化求導

首先列出損失函式如下：

對上述函式針對引數w求梯度：

上述梯度就是後續我們用於更新引數w的依據；

程式碼實現

初始化相關引數

def __init__(self,X,y,epochs=5000,eta=0.1,epsilon=0.001):
    super(LogisticRegression,self).__init__(X,y)
    self.epochs = epochs
    self.eta = eta
    self.epsilon = epsilon
    self.wk = np.array([0 for i in range(self.X.shape[1])])

Sigmoid

def sigmoid(self,x):
    return 1/(1+np.exp(-x))

經驗損失函式梯度

def drhd(self,w):
    '''
    經驗誤差函式的梯度
    '''
    ew = []
    for i in range(self.X.shape[1]):
        ewi = np.mean(-self.y*self.X[:, i]*np.exp(-self.y*(self.X@w))/(1+np.exp(-self.y*(self.X@w))))
        ew.append(ewi)
    return np.array(ew)

迭代訓練

def train(self):
    i_,norm = None,None
    for i in range(self.epochs):
        drhdwk = self.drhd(self.wk)
        i_,norm = i,np.linalg.norm(drhdwk)
        if np.linalg.norm(drhdwk) < self.epsilon:
            break
        self.wk = self.wk-self.eta*drhdwk
    return i_,norm,self.wk

執行結果

先看下感知機-口袋演算法處理非線性分類問題：

再來對比看下邏輯迴歸的分類情況：

直覺上看，二者雖然都有一個點分類錯誤（這是肯定的，因為資料不是線性可分的），但是對於分類錯誤的×來說，邏輯迴歸中錯誤的×距離分割平面更近，也就是說模型對於這個點的判斷是比較模糊而不是很肯定的，可以認為是錯的不嚴重，這一點也會反應在損失函式中；

全部程式碼

import numpy as np
from 線性迴歸最小二乘法矩陣實現 import LinearRegression as LR
from sklearn.datasets import load_iris
import matplotlib.pyplot as plt

class LogisticRegression(LR):
    def __init__(self,X,y,epochs=5000,eta=0.1,epsilon=0.001):
        super(LogisticRegression,self).__init__(X,y)
        self.epochs = epochs
        self.eta = eta
        self.epsilon = epsilon
        self.wk = np.array([0 for i in range(self.X.shape[1])])

    def sigmoid(self,x):
        return 1/(1+np.exp(-x))

    def h(self,x):
        '''
        假設函式
        '''
        return self.sigmoid([email protected])

    def drhd(self,w):
        '''
        經驗誤差函式的梯度
        '''
        ew = []
        for i in range(self.X.shape[1]):
            ewi = np.mean(-self.y*self.X[:, i]*np.exp(-self.y*(self.X@w))/(1+np.exp(-self.y*(self.X@w))))
            ew.append(ewi)
        return np.array(ew)

    def train(self):
        i_,norm = None,None
        for i in range(self.epochs):
            drhdwk = self.drhd(self.wk)
            i_,norm = i,np.linalg.norm(drhdwk)
            if np.linalg.norm(drhdwk) < self.epsilon:
                break
            self.wk = self.wk-self.eta*drhdwk
        return i_,norm,self.wk

    def sign(self,value):
        return 1 if value>=0 else -1

    def predict(self,x):
        return self.sign(self.wk.dot(np.append([1],x)))

if __name__ == '__main__':
    X = np.array([[5,2], [3,2], [2,7], [1,4], [6,1], [4,5], [2,4.5]])
    y = np.array([-1, -1, 1, 1, -1, 1, -1, ])
    # X = np.array([[5,2], [3,2], [2,7], [1,4], [6,1], [4,5]])
    # y = np.array([-1, -1, 1, 1, -1, 1, ])
    iris = load_iris()
    X = iris.data[iris.target<2,:2]
    y = iris.target[iris.target<2]
    y[y==0] = -1

    model = LogisticRegression(X=X,y=y,epochs=10000,eta=.2,epsilon=0.0001)
    i,norm,w = model.train()
    print(f"epochs={i} -> w={w} -> norm={norm:>.8f}")
    for xi,yi in zip(X,y):
        print(yi,model.predict(xi))

    w,b = w[1:],w[0]
    positive = [x for x,y in zip(X,y) if y==1]
    negative = [x for x,y in zip(X,y) if y==-1]
    line = [(-w[0]*x-b)/w[1] for x in [-100,100]]
    plt.title('w='+str(w)+', b='+str(b))
    plt.scatter([x[0] for x in positive],[x[1] for x in positive],c='green',marker='o')
    plt.scatter([x[0] for x in negative],[x[1] for x in negative],c='red',marker='x')
    plt.plot([-100,100],line,c='black')
    plt.xlim(min([x[0] for x in X])-1,max([x[0] for x in X])+1)
    plt.ylim(min([x[1] for x in X])-1,max([x[1] for x in X])+1)
    plt.show()

    iris = load_iris()
    X = iris.data
    y = iris.target
    model = LogisticRegression(X=X,y=y,epochs=1000000,eta=.1,epsilon=0.0005)
    i,norm,w = model.train()
    print(f"epochs={i} -> w={w} -> norm={norm:>.8f}")

最後

邏輯迴歸幾乎是機器學習中應用最為廣泛的一種分類演算法，由於其簡單的思想、良好的數學理論、超強的可解釋性，使得在推薦領域、金融領域等發揮了巨大的作用；