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東南大學 2021 年夏季賽部分題解

夏季賽題解

規劃

列舉 \(x_k \ne 0\) 的數目 \(i\),則有

\[\sum_{i=0}^n \binom n i \binom {p-1} {i-1} 2^i =\sum_{i=0}^n \binom n i 2^i \sum_{j=i}^p \binom {j-1}{ i-1}=\sum_{i=0}^n 2^i \binom n i\binom p i \]

畫餅

構造若干個互不相連的完全圖即可。

斷言

暴力列舉子集判斷即可。

事實上,根據鴿巢原理容易證明命題永遠為真,因此直接輸出 YES 即可。

求和

預處理出所有區間的最小值後,進一步預處理出所有區間的答案,然後 \(O(1)\)

回答詢問即可。

重組

統計出每個因子出現的個數,第 \(i\) 個因子的個數記作 \(q_i\),總的因子數的個數顯然是 \(tot=\prod_i (q_i+1)\),於是每個因子最終貢獻的冪次為 \(\frac 1 2 q_i tot\)。算冪次時根據費馬小定理,要對 \(10^9 +6\) 取模,但是這裡有個除 \(2\) 很討厭,考慮到 \(q_i\)\(tot\) 中至少由一個能被 \(2\) 整除,這裡我們可以在計算過程中先對 \(2(10^9+6)\) 取模。