題解 [HNOI2008]GT考試
阿新 • • 發佈:2021-06-24
這題暴力對拍都難搞,差評
一般的題解裡思路是考慮一般DP:
令\(dp[i][j]\)為列舉到第i位時匹配到第j位的方案數,令\(g[k][j]\)為將匹配到k位的情況補到匹配到j位的方案數
則
然後這個式子就是矩陣快速冪的形式了
然而我麻煩億點的做法:
令\(dp[i]\)為長度為i時的合法方案數,輔助陣列\(k[i]\)為鎖定前\(m\)位為匹配串唯一一次出現時的方案數
考慮轉移,則轉移為\(dp[i]=dp[i-m]*(10^m-1)\)減去所有跨越\(i-m\)這個邊界的不合法方案數
拿以下輸入舉例子
6 3 1000000
121
這裡有幾種可能的轉移:
121000
×121??
××121?
對於第2行,×有10種可能,??有99種可能(有一種不滿足前m位為匹配串唯一一次出現),共990種
對於第3行,××有99種可能(有一種開頭是121的已在轉移時減掉了,再減就重了),?有10種可能,共990種
所以\(dp[6] = dp[3]*999-990-990 = 996021\)
k陣列的轉移和dp陣列類似,懶得寫了不再贅述
時間複雜度\(O((m*2+2)^3logn)\), 也就慢了那麼億點點
Code:
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define INF 0x3f3f3f3f #define N 45 #define ll long long #define ld long double #define usd unsigned #define ull unsigned long long //#define int long long int n, m, mod; int nxt[N], power[N]; bool vis[N]; char s[N]; struct matrix{ int n, m; int a[N][N]; matrix(){n=m=0; memset(a, 0, sizeof(a));} matrix(int n_, int m_):n(n_),m(m_) {memset(a, 0, sizeof(a));} inline void resize(int n_, int m_) {n=n_; m=m_;} inline void put() {for (int i=1; i<=n; ++i) {for (int j=1; j<=m; ++j) cout<<setw(5)<<a[i][j]<<' '; cout<<endl;}} inline int* operator [] (int i) {return a[i];} inline matrix operator * (matrix b) { matrix c(n, b.m); for (int i=1; i<=n; ++i) for (int k=1; k<=m; ++k) { if (!a[i][k]) continue; for (int j=1; j<=b.m; ++j) c[i][j]=(c[i][j]+a[i][k]*b[k][j]%mod)%mod; } return c; } }ans, t; matrix qpow(matrix a, int b) { if (!b) return a; matrix ans=a; --b; while (b) { if (b&1) ans=ans*a; a=a*a; b>>=1; } return ans; } signed main() { #ifdef DEBUG freopen("1.in", "r", stdin); #endif scanf("%d%d%d%s", &n, &m, &mod, s+1); nxt[1]=0; power[0]=1; for (int i=1; i<=m; ++i) power[i]=power[i-1]*10%mod; //for (int i=1; i<=m; ++i) cout<<power[i]<<' '; cout<<endl; int p=(power[m]-1)%mod; //cout<<p<<endl; for (int i=2,j=0; i<=m; ++i) { while (j && s[i]!=s[j+1]) j=nxt[j]; if (s[i]==s[j+1]) ++j; nxt[i] = j; } for (int i=nxt[m]; i; i=nxt[i]) vis[i]=1; ans.resize(1, m*2+2); t.resize(m*2+2, m*2+2); ans[1][1]=-1; ans[1][2]=1; for (int i=1; i<=m; ++i) ans[1][2+i]=ans[1][1+i]*10%mod; --ans[1][m+2]; //ans[1][m*2+1]=1; ans[1][m*2+2]=ans[1][m*2+1]*10-(nxt[m]==m-1); ans[1][m*2+2]=1; t[1][1]=1; for (int i=1; i<=m; ++i) t[2+i][1+i]=1; t[3][m+2]=p; //for (int i=nxt[m]; i; i=nxt[i]) t[m+2+i][m+2]=-1; for (int i=1; i<m; ++i) t[2*m+3-i][m+2]=-(power[i]-vis[m-i])%mod; //for (int i=1; i<m; ++i) t[2*m+2-i][m+2]=-1; for (int i=1; i<m; ++i) t[m+3+i][m+2+i]=1; //t[m*2+2][m*2+2]=10; //if (nxt[m]) t[1][m+2+nxt[m]+1]=1; for (int i=nxt[m]; i; i=nxt[i]) t[m+3+i][m*2+2]=-1; t[3][m*2+2]=1; //t[m*2+2][m+2]=-1; #ifdef DEBUG ans.put(); cout<<endl; for (int i=1; i<=n-m; ++i) { ans=ans*t; ans.put(); cout<<endl; } t.put(); cout<<endl; #else if (n-m) ans=ans*qpow(t, n-m); #endif printf("%d\n", ((ans[1][m+2])%mod+mod)%mod); return 0; }