tag:組合計數，點分治，容斥

題意

給一棵樹，對每個點分配一個權值（可以為 \(0\)），所有點權值和為 \(m\)。求所有分配方案的帶權重心標號和（多個重心取標號最小的一個）。

\(n\leq2\cdot10^5,\ m\leq5\cdot10^6\)

當 \(m\) 為奇數時，對於一條邊來說，重心在哪一端是確定的，因為兩邊的權值和不可能相同。所以先考慮 \(m\) 為奇數的情況。考慮求出重心在 \(x\) 子樹內的方案數，然後容斥一下可以求出重心剛好在 \(x\) 的方案數。

考慮列舉分配給子樹的權值和，然後兩邊都變成了一個，球相同，盒子不同可以為空的放球問題。（設 \(p=\frac m2+1\)

暴力計算顯然不行，考慮它的實際意義：左邊有 \(sz\) 個盒子，右邊有 \(n-sz\) 個盒子，放 \(m\) 個相同的球，且左邊不能放超過 \(\frac m2\) 個球。好像可做了一點，考慮從 \(sz\) 推到 \(sz+1\)，發現多出來的情況即為第 \(\frac m2\) 個球剛好放在第 \(sz+1\) 個盒子裡的方案。那麼 \([1,\frac m2-1]\) 這些球往 \(sz+1\) 個盒子裡隨便放，然後 \([\frac m2+1,m]\)

考慮 \(n\) 為偶數會有什麼問題。對於這種情況：一條 \(s\) 到 \(t\) 的鏈，鏈的兩端子樹和分別為 \(\frac m2\)，其餘點全部為 \(0\)。那麼此時這一條鏈上的點都可以為重心，所以貢獻為 \(min\)。但我們在假定 \(m\) 為奇數時，把這條鏈的貢獻算成了 方案數\(\cdot \sum val\)，所以對於每條路徑，要減去 方案數\(\cdot \sum val\)，再加上 方案數\(\cdot\ min\)。這很顯然是一個點分治解決。在處理 \(min\)