一般化，有若干個物品，若干個屬性，每個物品有若干個屬性（可能沒有）。現在要求有屬性的物品的總數。

我們要求的，就是擁有某一個屬性的總數，減去擁有某兩個屬性的總數，加上擁有某三個屬性的總數，依次類推。

應用

直接容斥

固定什麼是物品，什麼是屬性，然後直接根據定義直接容斥。

硬幣購物

一種付款方案是物品，第 \(i\) 種硬幣是否過度使用是屬性，然後容斥。

二項式反演

\[f(n) = \sum \limits_{i= 0}^n \binom{n}{i}g(i) \Longleftrightarrow g(n)=\sum\limits_{i =0}^n(-1)^{n-i}\binom{n}{i}g(i) \]

【題解】CF1516E Baby Ehab Plays with Permutations

莫比烏斯反演

\[F=f*1\Longleftrightarrow f = F * \mu \]

子集反演

\[f(S)=\sum\limits_{T\subseteq S}g(T) \]\[g(S)=\sum\limits_{T\subseteq S}(-1)^{|S|-|T|}f(T) \]

二項式反演是特殊形式的子集反演，當函式 \(f,g\) 只與集合大小有關時這就是二項式反演。

一般配合子集卷積。

FWT

\[FWT(a)_i = \sum\limits_{j\oplus i=i} a_i \]

當 \(\oplus = or\)

時，\(FWT(a)=merge(FWT(a_0),FWT(a_0)+FWT(a_1))\)

當 \(\oplus = and\) 時，\(FWT(a)=merge(FWT(a_0)+FWT(a_1),FWT(a_1))\)

當 \(\oplus = xor\) 時，\(FWT(a)=merge(FWT(a_0)+FWT(a_1),FWT(a_0)-FWT(a_1))\)

\(IFWT\) 直接逆運算即可，不用考慮順序。

\(Min-Max\) 容斥

\[\min\{S\}=\sum\limits_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}\max\{T\} \]\[\max\{S\}=\sum\limits_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}\min\{T\} \]

這玩意對期望也成立。

\[E(\min\{S\})=\sum\limits_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}E(\max\{T\}) \]\[E(\max\{S\})=\sum\limits_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}E(\min\{T\}) \]

一般化

\[\max_k\{S\}=\sum\limits_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+k}\binom{|T|-1}{k-1}\min\{T\} \]\[\min_k\{S\}=\sum\limits_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+k}\binom{|T|-1}{k-1}\max\{T\} \]

這樣我們將求第 \(k\) 大元素轉化為求最小元素。

為啥這陰間玩意總是和期望出在一起（