【NOIP2013模擬】四葉草魔杖

Description

魔杖護法Freda融合了四件武器，於是魔杖頂端緩緩地生出了一棵四葉草，四片葉子煥發著淡淡的七色光。聖劍護法rainbow取出了一個圓盤，圓盤上鑲嵌著N顆寶石，編號為0~N-1。第i顆寶石的能量是Ai。如果Ai>0,表示這顆寶石能量過高，需要把Ai的能量傳給其他寶石；如果Ai<0，表示這顆寶石的能量過低，需要從其他寶石處獲取-Ai的能量。保證sigma(Ai)=0。只有當所有寶石的能量均相同時，把四葉草魔杖插入圓盤中央，才能開啟超自然之界的通道。
不過，只有M對寶石之間可以互相傳遞能量，其中第i對寶石之間無論傳遞多少能量，都要花費Ti的代價。探險隊員們想知道，最少需要花費多少代價才能使所有寶石的能量都相同？

Input

第一行兩個整數N、M。
第二行N個整數Ai。
接下來M行每行三個整數pi，qi，Ti，表示在編號pi和qi的寶石之間傳遞能量需要花費Ti的代價。資料保證每對pi、qi最多出現一次。

Output

輸出一個整數表示答案。無解輸出Impossible。

Sample Input

3 3
50 -20 -30
0 1 10
1 2 20
0 2 100

Sample Output

30

Data Constraint

對於50%的資料，2<=N<=8。
對於100%的資料，2<=N<16，0<=M<=N*(N-1)/2，0<=pi,qi<N，-1000<=Ai<=1000，0<=Ti<=1000，sigma(Ai)=0。

題解

看到資料範圍，果斷狀壓，可惜考場思路假了（一天一道狀壓DP啊）
感性地YY一下題目，發現這題可能跟最小生成樹有點兒關係，於是我們可以順著這個思路來想
先設狀態，設\(f[s]表示\)使狀態\(s\)中為1的點中全部傳遞成0需要的最小代價
然後我們考慮轉移，實際上我們可以列舉兩個集合狀態\(s\)和\(s'\)來進行合併轉移
我們先將每一個狀態\(s\)所需要的代價算出來，不難發現其實就是這個連通塊的最小生成樹的邊權之和
然後轉移方程就一目瞭然了：
\(f[s|s']=min(f[s|s'],f[s]+形成狀態s'所需的代價)\)

CODE

#include<cstdio>
#include<string>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define max(a,b) (((a)>(b))?(a):(b))
#define min(a,b) (((a)<(b))?(a):(b))
#define R register int
#define N 20
#define M 100005
#define inf 0x3f3f3f3f
#define ll long long
using namespace std;
struct arr{int x,y,z;}bian[M];
int n,m,tot,sum[M],num[M],fa[N],a[N],f[M];
inline void read(int &x)
{
	x=0;int f=1;char ch=getchar();
	while (!isdigit(ch)) {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while (isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();x*=f;
}
inline int find(int k)
{
	if (fa[k]==k) return k;else return fa[k]=find(fa[k]);
}
inline void kruskal(int k)
{
	if (sum[k]) {num[k]=inf;return;}
	int cnt=1,ans=0,tot1=0;
	for (R i=1;i<=n;++i)
		if (k&(1<<i-1)) ++tot1,fa[i]=i;
	for (R i=1;i<=m;++i)
	{
		int xx=bian[i].x,yy=bian[i].y;
		if (k&(1<<xx-1) && k&(1<<yy-1))
		{
			int f1=find(xx),f2=find(yy);
			if (f1!=f2)
			{
				fa[f1]=f2;++cnt;ans+=bian[i].z;
				if (cnt==tot1) break;
			}
		}
	}
	if (cnt==tot1) num[k]=ans;else num[k]=inf;
}
inline bool cmp(arr x,arr y) {return x.z<y.z;}
int main()
{
	read(n);read(m);tot=(1<<n)-1; 
	for (R i=1;i<=n;++i)
		read(a[i]);
	for (R i=1;i<=m;++i)
	{
		read(bian[i].x);read(bian[i].y);read(bian[i].z);
		++bian[i].x;++bian[i].y;
	}
	sort(bian+1,bian+1+m,cmp);
	for (R s=0;s<=tot;++s)
	{
		for (R i=1;i<=n;++i)
			if (s&(1<<i-1)) sum[s]+=a[i];
		kruskal(s);f[s]=inf;
	}
	f[0]=0;
	for (R s=0;s<=tot;++s)
		if (!sum[s])
			for (R i=0;i<=tot;++i)
				if (!sum[i])
					f[s|i]=min(f[s|i],f[s]+num[i]);
	if (f[tot]==inf) printf("Impossible");else printf("%d\n",f[tot]);
	return 0;
}