樹的重心定義

對於一棵無根樹，任選一個點為根節點，以根節點為分界，得到若干個子樹，具有結點數最多的子樹就是最大子樹。以每個點為根節點，最大子樹中結點數最小的那個根節點就是樹的重心。（百度定義：樹的重心也叫樹的質心。找到一個點,其所有的子樹中最大的子樹節點數最少,那麼這個點就是這棵樹的重心）
或者樹的重心還可以定義為：去掉該結點後，樹的各個連通分支中含有的結點最小。

以下圖為例：

以1當作根節點，其所有子樹的結點數為3，3，2。1的最大子樹就是3。
1就是樹的重心，因為以其他點為根節點時，最大子樹的結點數都會超過3
如以2為根節點，最大子樹為{1，2，4，7，8，9}

輸入輸出
輸入：第一行一個整數n，表示樹的結點個數。
接下來n-1行，每行兩個數i，j。表示i和j有邊相連。
輸出：第一行一個整數k，表示重心的個數。
接下來K行，每行一個整數，表示重心。按從小到大的順序給出。

思路

任選一個結點作為根節點，用DFS進行遍歷，求出所有結點的子樹大小（大小就是子樹所含的結點數），所有結點還有一個到根節點的子樹，大小為總結點數-當前結點所含所有子樹的大小。求出每個結點最大子樹的結點數，再求最小值。

int sz[N],mx[N];	//sz[i]是以i為根節點的子樹大小，mx[i]是以i為根節點的子樹的最大子樹大小
void dfs(int u,int pre){
	sz[u] = 1;	//自己也要算進去
	mx[u] = 0;
	for(int i = head[u];i;i = nxt[i]){
		int v = ver[i];
		if(v == pre) continue;
		dfs(v,u);
		sz[u] += sz[v];	//dfs搜尋完v之後，更新sz[u]
		mx[u] = max(mx[u],sz[v]);	//更新最大子樹的大小
	}
	mx[u] = max(mx[u], n-sz[u]);	//還要與到根節點那顆子樹的大小比較
}
 

樹的重心的性質

1. 一棵樹最少有一個重心，最多有兩個重心，若有兩個重心，則它們相鄰（即連有直接邊）。
2. 樹上所有點到某個點的距離和裡，到重心的距離和最小；若有兩個重心，則其距離和相同。
3. 若以重心為根，則所有子樹的大小都不超過整棵樹的一半。否則可以通過平移使得最大子樹的大小縮小至整樹的一半，剩下子樹的大小最大為 n/2−1 。此時新平移到的點才是真正的重心。
4. 在一棵樹上新增或刪除一個葉子節點，其重心最多平移一條邊的距離。
5. 兩棵樹通過連一條邊組合成新樹，則新樹重心在原來兩棵樹的重心的連線上。

解題

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 110;
int tot;
int head[N],ver[N],nxt[N];	//鄰接表建樹需要的陣列 
int sz[N],mx[N];	//sz是以i為根節點的子樹的大小，mx是每個點的最大子樹大小 

void addedge(int u,int v){	//鄰接表建樹過程 
	tot++;
	nxt[tot] = head[u];
	ver[tot] = v;
	head[u] = tot;
}
int n, minn = 1e8;
void dfs(int u,int pre){
	sz[u] = 1;	//自己也要算進去
	mx[u] = 0;
	for(int i = head[u];i;i = nxt[i]){
		int v = ver[i];
		if(v == pre) continue;
		dfs(v,u);
		sz[u] += sz[v];	//dfs搜尋完v之後，更新sz[u]
		mx[u] = max(mx[u],sz[v]);	//更新最大子樹的大小
	}
	mx[u] = max(mx[u], n-sz[u]);	//還要與到根節點那顆子樹的大小比較
	if(mx[u] < minn)  minn = mx[u];
}

int main()
{
    int u,v;
    cin >> n;
    for(int i = 1;i <= n-1;i++){	//建立邊 
    	cin >> u >> v;
    	addedge(u,v);
	}
	dfs(1,0);	//進行dfs遍歷 
	int len=0,p[2];
	for(int i = 1;i <= n;i++){	//尋找樹的重心 
		if(mx[i] == minn)
			p[len++] = i;
	}
	cout << len << endl;	//輸出 
	for(int i = 0;i < len;i++){
		cout << p[i] << endl;
	}
}