\[\begin{aligned}\begin{gathered}\ \huge\mathcal{M}\texttt{athematics}\ \quad{\large\texttt{-SGColin}} \end{gathered}\end{aligned} \]

寫在前面

• 重思維，重視演算法內部的邏輯，不要死記硬背。
• 多實踐，多做題，自己多推式子，找性質。
• 儘量不要看題解，自己思考
• 題目的意義在你開啟題解的那一刻就消失了。

康託展開

變進位制數

每一位上的進製為 \(b_i\)，令 \(b_0=1\)，則第 \(i\) 位的權重為 \(\prod_{j=0}^i b_j\)，令變進位制數序列為 \(\overline{a_na_{n-1}\cdots a_1}\)，則該數在 \(10\) 進位制下表示：

\[\sum_{i=1}^{n}\prod_{j=0}^{i}a_ib_j \]

階乘進位制數

• 令 \(b_i=i\)，則權重為 \(i!\)

廣義康託展開

• 變進位制數下的進制變換，即給出 \((A)_{s1}\)，求 \((A)_{s2}\)

一般轉化成 \((A)_{s1}\to(A)_{10}\to(A)_{s2}\)

時間複雜度：\(O(n)\)

康託展開

• 將任意十進位制自然數轉換為階乘進位制數。

逆康託展開

• 將任意階乘進位制數轉換為十進位制自然數。

排列與變進位制數

• 任何一個 \(1,\cdots,n\) 的排列 \(p_1,\cdots,p_n\) 都對應唯一的階乘進位制數。

排列從小到大的排名：

\[\sum_{i=1}^n(rk_i-1)!+1 \]

其中 \(rk_i\) 表示 \(i\) 在以 \(i\) 為起點的字尾中的排名。

數論數學

一些複雜度分析

\[\begin{aligned} \large\texttt{素數分佈:}&\lim_{n\to \infty} \dfrac{\pi(n)\times \ln n}{n}=1\\ \large\texttt{調和級數:}&\sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{i}=O(\log n)\\ \large\texttt{素數調和級數:}&\sum_{p=1|p\in\operatorname{prime}}^{n} \dfrac{1}{p}=O(\log \log n)\\ \end{aligned} \]

求逆元

\(a\) 的逆元：\(a\times a^{-1}\equiv 1\pmod p\)

存在逆元：\(\gcd(a,p)=1\)

• 費馬小定理 (尤拉定理特殊情況)

\[a\times a^{a-2}\equiv 1\pmod p|p\in\operatorname{prime} \]

• 擴充套件歐幾里得

考慮 \(ax+kp=1\) 的解。

• 尤拉定理

\[a\times a^{\varphi(p)-1}\equiv 1\pmod p \]

• 線性求逆元 1

\[i^{-1}\equiv -\lfloor\dfrac{p}{i}\rfloor\times (p\bmod i)^-1\pmod p \]

• 線性求逆元 2

求 \(\prod a_i\) 的逆元，再反向回退。

擴充套件尤拉定理

\[a^b\bmod p= \begin{cases} a^{b\bmod \varphi(p)}&\gcd(a,p)=1\\ a^b&\gcd(a,p)\neq1,b\leq \varphi(p)\\ a^{b\bmod \varphi(p)+\varphi(p)}&\gcd(a,p)\neq1,b\geq \varphi(p)\\ \end{cases} \]

拉格朗日插值

• 任何一個 \(n\) 次多項式一定能用不同的 \(n+1\) 個點表示出來。

若已知 \(y=f_x\) 過點 \((x_0,y_0),(x_1,y_1),\cdots,(x_n,y_n)\) ，考慮構造一個次數不超過 \(n\) 的多項式：

\[f_x=\sum_{i=0}^{n} y_i\prod_{j\not= i}\dfrac{x-x_j}{x_i-x_j} \]

此時滿足 \(f_{x_k}=y_k|k\in[0,n]\)

中國剩餘定理

構造方案：

\[ans=\sum_{i=1}^n a_i\times\dfrac{M}{a_i}\times(\dfrac{M}{a_i})^{-1}+\operatorname{lcm}(a_i)\\ M=\prod_{i=1}^n a_i \]

擴充套件中國剩餘定理

• 對於兩個同餘方程，利用擴充套件歐幾里得兩兩合併。

Meet in the middle

• 雙向搜尋，中間合併。

BSGS 離散對數

求解 \(a^x\equiv b\pmod p\)

令 \(x=A\lceil\sqrt p\rceil-B\)，則有 \(a^{A\lceil\sqrt p\rceil-B}\equiv b\pmod p\)，即：\(a^{A\lceil\sqrt p\rceil}\equiv b\times a^B\pmod p\)

我們已知 \(a,b\)，所以只需列舉 \(B\)，計算出 \(b\times a^B\) 存入 Hash/map 中，再列舉 \(A\)，計算出 \(a^{A\lceil\sqrt p\rceil-B}\)，在 Hash/map 中查詢是否有相等的一項，從而得到 \(x\) 的解。

時間複雜度：Hash \(O(\sqrt p)\) ，map \(O(\sqrt p\log p)\)

線性篩

• 積性函式：\(f_{ab}=f_a\times f_b\)

詳見 SGColin's Blog

數論分塊

• 將 \(1,\cdots,n\) 按 \(\lfloor\dfrac{n}{i}\rfloor\) 的值進行劃分，時間複雜度：\(O(\sqrt n)\)

區間篩法

• 給定區間 \([l,r]\)，求出區間 \([l,r]\) 內有多少質數 \((l,r\leq 10^{12},r-l+1\leq10^6)\)

我們知道 \(r\) 以內的合數的最小質因數一定不超過 \(\sqrt r\)，所以如果有 \(\sqrt r\) 內的素數表的話，就可以利用線性篩在 \(O(r-l+1)\) 的時間篩出質數。

構造

• 考驗思維。

構造題的好兄弟 (1) 尤拉路

從其中任意一點出發，不重複的走完所有邊。

如果最後回到起點，則稱為歐拉回路；如果沒有回到起點，則稱為尤拉通路。

• 無向圖中有且僅有兩個點為奇點，存在以這兩個點為起點和終點的尤拉通路。
• 無向圖中所有點均為偶點，存在歐拉回路。
• 有向圖中有且僅有一個出度比入度大 \(1\) 的點和一個入度比出度大 \(1\) 的點，其他點出度入度均相等，則存在以前者為起點，後者為終點的尤拉通路。
• 有向圖中所有點的出度入度均相等，存在歐拉回路。

構造題的好兄弟 (2) 哈密頓路

從其中任意一點出發，不重複的經過所有點。

如果最後回到起點，則稱為哈密頓迴路；如果沒有回到起點，則稱為哈密頓通路。

• Dirac 定理：\(n\) 個頂點的無向圖中，若所有頂點的度數都 \(\geq \lceil\dfrac{n}{2}\rceil\)，則一定存在哈密頓迴路。

• 競賽圖：無向完全圖給每條邊標方向所生成的有向圖。

• \(n(n\geq 2)\) 階競賽圖一定存在哈密頓通路。

組合數學

四大基本原理

• 不相交路徑計數

\(n\) 個點的 DAG，問 \(a\to b\) 和 \(c\to d\) 的不相交路徑條數。

首先問題轉化為總路徑減相交路徑。

拓撲排序，處理出 \(f_{i,j}\) 表示 \(i\) 到 \(j\) 的路徑條數，列舉第一個交點 \(p\)，處理出 \(a,c\) 分別到 \(p\) 不相交的路徑條數，再乘以 \(p\) 到 \(b,d\) 可以相交的路徑條數。

排列與組合

• 排列：\(A_n^m=\dfrac{n!}{(n-m)!}\)
• 圓排列：\(A_n^{m'}=\dfrac{n!}{m(n-m)!}=\dfrac{A_n^m}{m}\)
• 組合：\(C_n^m={n\choose m}=\dfrac{n!}{m!(n-m)!}=\dfrac{A_n^m}{m!}\)

全錯位排列

• \(\forall i\in[1,n]\)，滿足第 \(i\) 個位置上的數不是 \(i\) 的排列數。

\[\begin{cases} D_1=0\\ D_2=1\\ D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2}) \end{cases} \]

Fake 二項式定理

\[\sum_{i=0}^n (-1)^i{n\choose i}=0 \]

數列

卡特蘭數

• 從點 \((0,0)\) 到點 \((n,n)\)，每次只能向右或上移動一個單位，求路線處於 \(y=x\) 之下的路徑數。

\[H_n={2n\choose n}-{2n\choose n-1}=\dfrac{{2n\choose n}}{n+1}\\ \]

變式：從 \((0,0)\) 到 \((n,m)\)，條件同上。

\[\texttt{Ans}={n+m\choose m}-{n+m\choose m-1} \]

• \(n\) 個點的二叉樹劃分。

• \(n+3\) 個點多邊形的三角剖分。

\[H_n=\sum_{i=0}^n H_iH_{n-i-1} \]

P1641 生成字串

斐波那契數列

\[\sum_{i=1}^n F_i=F_{n+2}-1\\ \sum_{i=1}^n {F_i}^2=F_nF_{n+1}\\ \sum_{k=1}^n F_{2k-1}=F_{2n}\\ \sum_{k=1}^n F_{2k}=F_{2n+1}-1\\ F_n=F_mF_{n-m+1}+F_{m-1}F_{n-m}\mid m\leq n\\ F_{n+1}F_{n-1}={F_n}^2+(-1)^n\\ \gcd(F_i,F_j)=F_{\gcd(i,j)}\\ n\mid m \Longleftrightarrow F_n\mid F_m\\ \]

第一類斯特林數

• \(n\) 個不同元素，構成 \(m\) 個圓排列的方案數。

\[S_{1_{n,m}}=S_{1_{n-1,m-1}}+(n-1)S_{1_{n-1,m}} \]

第二類斯特林數

• \(n\) 個不同元素，劃分成 \(m\) 個非空集合的方案數。

\[S_{2_{n,m}}=S_{2_{n-1,m-1}}+m\times S_{2_{n-1,m}} \]

概率期望

古典概型

• 隨機試驗包含的單位時間是有限的，並且每個單位時間發生的可能性均相等。

\(P_i\) 表示事件 \(i\) 的概率。

\[\sum_{i=1}^n P_i=1\\ \int P_i=1 \]

幾何概型

• 隨機試驗的結果是無限的，並且每個基本結果發生的概率相同。

加法原理 乘法原理

• 對於獨立事件 \(A\) 和 \(B\)，\(P_{A\bigcap B}=P_A\times P_B\)
• 對於並列事件 \(A\) 和 \(B\)，\(P_{A\bigcup B}=P_A+P_B\)

期望的線性性

\[E_x=\sum_{i=1}^n P_i x_i\\ E_{ax+b}=E_{ax}+E_b=aE_{x}+E_b\\ \]

條件概率

• 當事件 \(B\) 已經發生時，事件 \(A\) 發生的概率：

\[P_{A\mid B}=\dfrac{P_{A\bigcap B}}{P_B} \] contact me on QQ (601585974 布魯)