看了許多大佬的講解，就用自己的語言說一遍，可能講得不好（畢竟還是太菜了）

題目大醫

給定一張有向圖，求從起點出發，求所有點再去掉的情況下有多少個點到達不了（就是支配點的概念）。

\(n\leq 2\cdot10^5\) ， \(m\leq 3\cdot 10^5\)

前肢假想

根據題目，我們以此來建一個樹，稱之為“支配樹”

滿足“支配樹”要滿足這些性質：

1.這是一個樹（而不是圖），根節點就是起點；

2.對於任意點 \(u\) ，從根到它的簡單路徑上的所有點都是它的支配點；

3.對於任意點 \(u\) ，它支配它的子樹上所有的子孫節點。

如果能這樣造出來，問題就解決了。

前肢引入

\(Lengauer-Tarjan\)

哪裡都有 Tarjan 老爺子。。。 Tarjan orz ！

\(Lengauer-Tarjan\) 演算法主要分了三個步驟：

1.從起點開始造 \(dfs\) 樹並求出所有點的 \(dfn\) ；

2.求出所有點的半支配點；（暫設陣列 \(semi(i)\) ）

3.求出所有點的支配點。（暫設陣列 \(idom(i)\) ）

其中半支配點是一個新概念，也是間接求支配點的精髓。

對於任意點 \(u\) 的半支配點表示所有點中有 dfn 最小的點 \(v\) ，能使 \(v\) 滿足有一條路徑能夠到達 u 且路徑上的所有點（ \(u\) 和 \(v\) 都不算）的 \(dfn\) 都大於 \(dfn(u)\)

豬蹄內容

就只講講一般有向圖吧，因為這個解決了其他的就都解決了（如樹， DAG ）。

絲綢之路的誕生之半支配點

設目前我們在研究點 \(u\) ，那麼再設點 \(v\) 指所有直接連向 \(u\) 的點。

分類討論（王道！）

1.\(dfn(v)=dfn(u)\)

直接無解。。跳過。

2.\(dfn(v)<dfn(u)\)

如果要從這條路徑上走的話，剛開始就結束了（根據定義來），所以把 \(v\) 和可能存在的 \(semi(u)\) 擇優更新就好了。

3.\(dfn(v)>dfn(u)\)

那麼就在 \(dfs\) 樹上從 \(v\) 找一個祖先 \(w\) 且 \(dfn(w)>dfn(u)\)

因為既然有了 \(semi(w)\) ，這一段路徑上所有 \(dfn\) 都大於 \(dfn(u)\) （定義來的）， \(w\) 又是從 \(semi(u)\) 到 \(u\) 的路徑上搜到的，所以 \(w\) 之後的點也滿足。

（不是很懂？？正常，我也有點雲裡霧裡的（就算明白了，一會也就忘了），但關鍵好背！！）

至此，半支配點完結！

絲綢之路的誕生之支配點

考慮在半支配點的肩膀上求出支配點。

設目前我們在研究點 \(u\) 。

然後記一個點集 \(\large\xi\) 表示在 \(dfs\) 樹上從 \(semi(u)\) 到 \(u\) 的路徑的點集，（但不包括 \(semi(u)\) ）其中點 \(\alpha\) 是 \(\large\xi\) 中 \(dfn(semi)\) 最小的點。

那麼，分類討論（王道！）

（肯定是判斷 \(semi\) 相等而不是比較 \(dfn\) 大小了呀）

1.\(semi(\alpha)=semi(u)\)

則 \(idom(u)=semi(u)\) 。

因為 \(\alpha\) 已經是 \(semi(u)\) 到 \(u\) 路徑中所有點的下限（ \(dfn(semi)\) ）了，如若當前情況就是 \(\large\xi\) 成了個封閉的點集， \(semi(u)\) 是唯一直接相連的點，自然就有了 \(idom(u)=semi(u)\) 。

2.\(semi(\alpha)\neq semi(u)\)

則 \(idom(u)=idom(\alpha)\) 。

感性理解：

倘若有這麼一個“中間點” \(\beta\) 。

我們假設沒有了 \(idom(\alpha)\) ， \(u\) 還可以能夠到達。那麼說明 \(idom(\alpha)\) 祖先會有一個點有一條非 \(dfs\) 樹邊連向了 \(idom(\alpha)\) 和 \(u\) 中間的一個點 \(\beta\) 。

其中， \(\alpha\) 必是 \(\beta\) 的祖先，否則沒有了 \(idom(\alpha)\) 也能到達 \(\alpha\) ，顯然與定義不符。

如若如此， \(\beta\) 便一定在 \(\large\xi\) 中了。

看得出來， \(semi\) 的要求比 \(idom\) 高一些，從滿足條件的難度上，所以 \(dfn(idom(\alpha))\leq dfn(semi(\alpha))\) 顯然。（記住，這是感性。。）

但 \(idom(\alpha)\) 的祖先有一條非 \(dfs\) 樹邊連向了 \(\beta\) ，所以無論如何 \(dfn(semi(\beta))<dfn(idom(\alpha))\) 。

結合上面的兩段內容，發現會與 \(\large\xi\) 關於 \(\alpha\) 的定義不符了。所以沒有了 \(idom(\alpha)\) ， \(u\) 一定不能夠到達。

至此，支配點完結！

從絲綢之路到實際實現

1.半支配點

如果還有點印象的話，應該能知道求解過程都是 dfn 從大到小的逆推，所以可以倒序 dfn 處理。

對於第二個情況（第一個就。。）直接幹，而第三種情況，肯定是不會暴力列舉的。

於是考慮一個帶權並查集（說的好像要怎麼樣，但程式碼就是好背），每次處理完一個點，就往它在 dfs 樹上的點合併，按照支配點中 \(\large\xi\) 的要求維護對應的東西。

2.支配點

很多輔助東西都與半支配點一併整好了，只需要把已經求的 semi 與對應的點連邊，構造半支配樹，就能同時求解支配點。

由於可能存在搜尋的時候 idom 並未找到，可以先記錄下來，最後順序 dfn 再額外處理。

有一個小注意可見這位大佬在程式碼上方的講述。

時間複雜度 \(O(n\log_{2}{n})\) ，優雅的詮釋了\(Lengauer-Tarjan\) 演算法的優越性。

（沒辦法， Tarjan 老爺子就這麼厲害。。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=2e5+10,M=3e5+10;
int n,m,ans[N],tot;
int fst[N][3],nxt[M+M+N],to[M+M+N];
int dfn[N],ord[N],cnt,fth[N];
int idom[N],semi[N],uni[N],mn[N];
inline ll read()
{
	ll s=0,w=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9') s=s*10+ch-'0',ch=getchar();
	return s*w;
}
inline void add(int u,int v,int id)
{
	nxt[++tot]=fst[u][id];
	to[tot]=v,fst[u][id]=tot;
}
inline void Tarjan(int u)
{
	ord[dfn[u]=++cnt]=u;
	for(int i=fst[u][0];i;i=nxt[i])
	{
		int v=to[i];
		if(!dfn[v])
		{
			fth[v]=u;
			Tarjan(v);
		}
	}
}
inline int uni_query(int u)
{
	if(u==uni[u])return u;
	int tmp=uni_query(uni[u]);
	if(dfn[semi[mn[u]]]>dfn[semi[mn[uni[u]]]])mn[u]=mn[uni[u]];
	return uni[u]=tmp;
}
inline void Lengauer_Tarjan(int s)
{
	Tarjan(s);
	for(int i=1;i<=n;++i)semi[i]=uni[i]=mn[i]=i;
	for(int id=cnt;id>=2;--id)
	{
		int u=ord[id];
		for(int i=fst[u][1];i;i=nxt[i])
		{
			int v=to[i];
			if(!dfn[v])continue;
			uni_query(v);
			if(dfn[semi[u]]>dfn[semi[mn[v]]])semi[u]=semi[mn[v]];
		}
		uni[u]=fth[u];
		add(semi[u],u,2);
		u=fth[u];
		for(int i=fst[u][2];i;i=nxt[i])
		{
			int v=to[i];
			uni_query(v);
			idom[v]=(u==semi[mn[v]]?u:mn[v]);
		}
		fst[u][2]=0;
	}
	for(int i=2;i<=cnt;++i)
	{
		int u=ord[i];
		if(idom[u]^semi[u])
		idom[u]=idom[idom[u]];
	}
}
int main()
{
	n=read(),m=read();
	for(int i=1;i<=m;++i)
	{
		int x=read(),y=read();
		add(x,y,0),add(y,x,1);
	}
	Lengauer_Tarjan(1);
	for(int i=cnt;i>=2;--i)ans[idom[ord[i]]]+=(++ans[ord[i]]);
	++ans[1];
	for(int i=1;i<=n;++i)printf("%d ",ans[i]);
	return 0;
}

完結撒花！