「POI2007」四進位制天平 Quaternary Balance 題解

\(n\) 可以到 \(10^{1000}\) ，所以考慮數位 \(dp\)

當然這只是個直覺，具體怎麼做呢？

砝碼的質量都是 \(4\) 的冪，稱出質量為 \(m\) 的物體，可以看成是一個 \(4\) 進位制大整數的逐位確定，放左盤可理解為加法（該位為正），放右盤可理解為減法（該位為負），可以看出左右盤不可能都放。最後用的總砝碼數等於各位數碼的絕對值之和。

由於有負數，出現了前面放多，後面借位的可能，例子：

3  2  3  1
4  -1 0 -3

設 \(S_{l,r}\) 為 \(n(base 4)\) （n 為原數）中 \([l...r]\)

那麼借位肯定是連續的一段。提前結束一段也有可能：

3  2  3  1
4  -2 3  1

結束一段後就恢復正常了。

我們再看看多段的情況：

1 *3  1  0 *2  2 *3  2
1  4  -2 -4 2  2  4  -2
 

不難發現，每段都是獨立的，

那麼可以設計出求最小砝碼數的 \(dp\) ：\(dp1_{i,j}\) 表示考慮到第 \(i\) 位，這位是否在“一段”中。算好數碼轉移就好了，\(O(len)\) 的。

這題求的是方案數。要求還原方案的 \(dp\) 題寫過吧？其實求方案數也一樣，設一個 \(dp2_{i,j}\) ，算 \(dp2\) 時，只要 \(dp1\) 從這種方式轉移過來是最優的，我們就可以累加。也是 \(O(len)\) 的。

所以這題資料似乎還可以加強...