點分治演算法分析

點分治用來處理有關數上路徑問題。

所有路徑對答案的貢獻其實可以分成，所有過一點的路徑+所有不過這點的路徑。

不過這點的路徑怎麼算？可以以這點為根到它的子樹裡分治解決。

所以現在問題只有：1、所有過這點的路徑怎麼解決？2、複雜度怎麼保證？

問題二：可以每次分治時以重心為根。這樣最多分治\(logn\)次

重心：滿足以此為根，所有兒子子樹大小的最大值最小的節點。重心有一個性質：以重心為根的樹，所有重心的兒子子樹的大小一定小於\(\frac{n}{2}\)。這個性質的證明跟某一經典的貪心證明很像（好像是把數軸上的所有物品移到哪個物品上的花費最小）。

這個性質保證了最多分\(logn\)

問題一：方法不是重點，點分治重點在於分治，把求書上路徑問題轉化成求樹上過一個點路徑的問題，而且代價只是複雜度多了一個\(log\)。

注意的點

計數問題中一個一個去記答案是很蠢的，除非答案的數量級很小。

除了計數問題之外，還有所有關於通過根節點路徑的最優化問題（選哪個為根），通常這類問題有單調性，可以判斷答案在某個子樹裡。然後普通方法複雜度不對，用點分治最多\(logn\)層子樹的性質優化演算法。