一個包含重複元素的升序陣列在經過旋轉之後，可以得到下面視覺化的折線圖：

其中橫軸表示陣列元素的下標，縱軸表示陣列元素的值。圖中標出了最小值的位置，是我們需要查詢的目標。

我們考慮陣列中的最後一個元素 x：在最小值右側的元素，它們的值一定都小於等於 x；而在最小值左側的元素，它們的值一定都大於等於 x。因此，我們可以根據這一條性質，通過二分查詢的方法找出最小值。

在二分查詢的每一步中，左邊界為 low，右邊界為 high，區間的中點為 pivot，最小值就在該區間內。我們將中軸元素 numbers[pivot] 與右邊界元素 numbers[high] 進行比較，可能會有以下的三種情況：

第一種情況是 numbers[pivot]<numbers[high]。如下圖所示，這說明 numbers[pivot] 是最小值右側的元素，因此我們可以忽略二分查詢區間的右半部分。

第二種情況是 numbers[pivot]>numbers[high]。如下圖所示，這說明 numbers[pivot] 是最小值左側的元素，因此我們可以忽略二分查詢區間的左半部分。

第三種情況是 numbers[pivot]==numbers[high]。如下圖所示，由於重複元素的存在，我們並不能確定 numbers[pivot] 究竟在最小值的左側還是右側，因此我們不能莽撞地忽略某一部分的元素。我們唯一可以知道的是，由於它們的值相同，所以無論 numbers[high] 是不是最小值，都有一個它的「替代品」numbers[pivot]，因此我們可以忽略二分查詢區間的右端點。

當二分查詢結束時，我們就得到了最小值所在的位置。

class Solution {
public:
    int minArray(vector<int>& numbers) {
        int n  =numbers.size();
        int l = 0, r = n - 1;
        while (l < r) {
            int mid = l + r >> 1;
            if(numbers[mid] < numbers[r]) 
                r = mid;
            else if(numbers[mid] > numbers[r]) 
                l = mid + 1;
            else
                r--;
        }
        return numbers[l];
    }
};