範圍最小值問題(Range Minimum Query, RMQ)。給出一個n個元素的陣列A,1 A2....An,設計一個數據結構，支援查詢操作Query(L,R):計算mIn{AL,A(L+1).....AR};

每次用一個迴圈來計算最小值顯然不夠快，字首和的思想也不能提高效率(想- -想， 為什麼)，怎麼辦呢?實踐中最常用的是Tarjan和Sparse-Table演算法，它預處理的時間是O(nlogn),但是查詢只需要0(1)，而且常數很小。最重要的是，這個演算法非常好寫，並且不易寫錯。

令d(i,j)表示從i開始的，長度為2^j的一段元素中的最小值，則可以用遞推的方法計算d(i,j): d(i,j)=min{d(i,j -1), d(i+2^(j-1),j 1)},原理如圖所示。

其實我們求 dp[i][j] 的時候可以把它分成兩部分，第一部分是從i到 i+2^j-1-1 ，第二部分從 i+2^j-1 到 i+2^j-1，為什麼可以這麼分呢？其實我們都知道二進位制數前一個數是後一個的兩倍，那麼可以把 i 到i+2 ^j-1 這個區間通過2 ^j-1分成相等的兩部分， 那麼轉移方程很容易就寫出來了。

（dp[i][0]就表示第i個數字本身）

dp[i][j] = min(dp [i][j - 1], dp [i + (1 << j - 1)][j - 1])

因此程式碼如下

void rmq_init()
{
    for(int i=1;i<=N;i++)
        dp[i][0]=arr[i];//初始化
    for(int j=1;(1<<j)<=N;j++)
        for(int i=1;i+(1<<j)-1<=N;i++)
            dp[i][j]=min(dp[i][j-1],dp[i+(1<<j-1)][j-1]);
}
 

這裡需要注意一個迴圈變數的順序，我們看到外層迴圈變數為j，內層迴圈變數為i，這是為什麼呢？可以互換一下位置嗎？

答案當然是不可以，我們要理解這個狀態轉移方程的意義，這個狀態方程的含義是：先更新每兩個元素中的最小值，然後通過每兩個元素的最小值獲得每4個元素中的最小值，依次類推更新所有長度的最小值。

查詢部分程式碼：

int rmq(int l,int r)
{
    int k=log2(r-l+1);
    return min(dp[l][k],dp[r-(1<<k)+1][k]);
}