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[APIO2020] 交換城市

一、題目

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二、解法

顯然是連通性問題,直接最小生成樹不好做,可以考慮 \(\tt kruskall\) 重構樹。

首先考慮 \(x,y\) 能相互到達的充要條件,其實除了連通塊是鏈的情況,都可以到達。轉化一下就是連通塊中存在度數大於等於 \(3\) 的點或者邊數大於等於點數。

我們把邊權從小到大排序然後依次加入,如果加入某條邊之後的連通塊不合法,那麼我們先維護這個連通塊的結構,再後面的邊把這個連通塊啟用的時候再替換根的邊權,詢問的時候直接查 \(\tt lca\) 即可。

三、總結

總結一下重構樹的適用範圍:對連通塊有特殊限制的連通性問題;再某個時刻的連通塊內查詢的問題。

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include "swap.h"
using namespace std;
const int M = 200005;
int read()
{
	int x=0,f=1;char c;
	while((c=getchar())<'0' || c>'9') {if(c=='-') f=-1;}
	while(c>='0' && c<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);c=getchar();}
	return x*f;
}
int n,m,fa[M],p[M][20],dep[M],fl[M],val[M],d[M];
vector<int> g[M];
struct node
{
	int u,v,c;
	bool operator < (const node &b) const
	{
		return c<b.c;
	}
}a[M];
int find(int x)
{
	if(x!=fa[x]) fa[x]=find(fa[x]);
	return fa[x];
}
void uni(int x,int y,int c)
{
	++d[x];++d[y];
	int u=find(x),v=find(y);
	if(u!=v)
	{
		fa[u]=fa[v]=++n;
		g[n].push_back(u);
		g[n].push_back(v);
		val[n]=c;
		fl[n]=fl[u]|fl[v]|(d[x]>=3)|(d[y]>=3);
	}
	else if(!fl[u]) fl[u]=1,val[u]=c;
}
void dfs(int u)
{
	dep[u]=dep[p[u][0]]+1;
	if(!fl[u] && fl[p[u][0]])
		fl[u]=1,val[u]=val[p[u][0]];
	for(int i=1;i<20;i++)
		p[u][i]=p[p[u][i-1]][i-1];
	for(int v:g[u])
		p[v][0]=u,dfs(v);
}
int lca(int u,int v)
{
	if(dep[u]<=dep[v]) swap(u,v);
	for(int i=19;i>=0;i--)
		if(dep[p[u][i]]>=dep[v])
			u=p[u][i];
	if(u==v) return u;
	for(int i=19;i>=0;i--)
		if(p[u][i]^p[v][i])
			u=p[u][i],v=p[v][i];
	return p[u][0];
}
void init(int N,int M,vector<int> U,vector<int> V,vector<int> C)
{
	n=N;m=M;
	for(int i=1;i<=2*n;i++)
		fa[i]=i;
	for(int i=0;i<m;i++)
		a[i+1]=node{U[i]+1,V[i]+1,C[i]};
	sort(a+1,a+1+m);
	for(int i=1;i<=m;i++)
		uni(a[i].u,a[i].v,a[i].c);
	dfs(n);
}
int getMinimumFuelCapacity(int x,int y)
{
	int t=lca(x+1,y+1);
	if(fl[t]) return val[t];
	return -1;
}
/* 
signed main()
{
	int n=read(),m=read(),q;
	vector<int> u,v,c;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		u.push_back(read());
		v.push_back(read());
		c.push_back(read());
	}
	init(n,m,u,v,c);q=read();
	while(q--)
	{
		int u=read(),v=read();
		printf("%d\n",getMinimumFuelCapacity(u,v));
	}
}
*/