一.拓撲排序簡介

　　1.AOV網:在實際的一項工程中,往往會有一個或多個最終的目標,如果我們將這個最終的目標進行拆解,就能拆解出許多中間目標,完成這些目標之間是有先後順序的.如拍攝一部電影需要首先有劇本\有場地\有演職人員等,然後進行場景拍攝,最後經過後期製作\商業宣傳等最終上映.這些中間目標往往是有先後順序的,我們不可能還沒有進行場景拍攝就開始後期製作,不可能沒有場地就開始拍攝...如果將這些中間目標或活動使用一張有向圖表示出來,使用頂點代表活動,使用弧代表活動之間的先後次序,那麼這樣一張有向圖就可以稱為 AOV網(Activity On Vertex Network).AOV網是一張不存在環路的有向圖,它一定存在一個或多個出度為0和入度為0的頂點.

　　2.拓撲序列:AOV網是一張沒有環路的有向圖,將其中的部分頂點排成一個序列,序列中任意兩個頂點A和B都滿足:若從A到B有一條路徑,則序列中A一定在B之前,那麼這條序列就稱為一個拓撲序列.

　　3.拓撲排序:對一個有向圖構造拓撲序列的過程.

　　4.拓撲序列的作用:拓撲序列可以這樣理解:如果某個工程中所有活動都必須逐個完成,不能同時做兩個活動,那麼拓撲序列就是這個工程的所有活動的完成次序.

二.拓撲排序演算法

　　拓撲排序的思路是:找到一個入度為0的頂點,找到的入度為0的頂點及以其為尾的弧會被刪去,這個頂點被加入拓撲序列中...迴圈此過程直到所有頂點都被找完.既然要不斷尋找入度為0的頂點,那麼顯然使用鄰接表(連結串列中儲存頂點為頭的弧)實現圖是一個不錯的方法,只需在頂點資料結構中增加一個入度域,每次新增一條弧時將對應頂點的入度指標加一,在頂點被刪去後遍歷其鄰接表中的所有弧,每遍歷一條弧將相應的頂點的入度域減一即可.

　　下面舉例說明:

　　如圖，這是一個電影拍攝的AOV網（參考《大話資料結構》P271的示例圖），我們可以對其進行拓撲排序。

　　　　1.入度為0的頂點只有“劇本初步完成”，所以它一定是拓撲序列中的第一個節點，刪去這個節點及以其為尾的弧；

　　　　2.入度為0的頂點只有“電影製作啟動”，所以它作為拓撲序列中的第二個節點，刪去這個節點及以其為為的所有弧；

　　　　3.此時入度為0的頂點有“導演確定”、“前期準備”、“投資確定”共三個，這三個頂點同時放入拓撲序列中作為第三到五個節點，這三個頂點之間的順序任意，然後刪去這些節點及以其為尾的弧；

　　　　4.此時入度為0的頂點有“劇本完善”、“演職人員確定”、“場地確認”共三個，同樣放入拓撲序列中並將這些節點刪去；

　　　　5.最後依次將“人員到位進駐場地”、“場景拍攝”、“後期製作及上映”三個節點逐個加入拓撲序列中並刪去。

　　　　6.注意：將節點加入拓撲序列中是一個節點一個節點加入的，這裡為了簡便3、4步都直接將三個節點一次性加入，實際上不是這樣的，如按照“導演確定”、“劇本完善”、“前期準備”、“演職人員確定”、“投資確定”、“場地確認”這個順序將節點加入拓撲序列中也是可以的。

三.關鍵路徑演算法

　　如圖所示，現在我們將弧的權值填入（隨機填的數值），其中權值代表工期，如“劇本初步完成”到“電影製作啟動”的弧權值為1，代表需要1天的時間進行“劇本初步完成”活動，之後才可以開始“電影製作啟動”活動。那麼我們現在怎麼確定整個專案的工期是多少天呢？

　　如上圖所示，圖中每個頂點的下方都添加了一個紅色的數字代表最早開始時間，如“劇本初步完成”最早0天開始，因為需要一天的時間進行活動，所以“電影製作啟動”最早1天開始，同理，“前期準備”需要“電影製作啟動”進行3天時間，所以最早4天時開始...還可以注意到，“場地確認”需要“前期準備”2天和“投資確定”1天后才可以開始，而“投資確定”最早2天時開始，“前期準備”最早4天時開始，所以“場地確認”最早可能3天或6天時開始，顯然應該取最大值6天，其他的類似情況同理。最終我們得到了第16天時可以開始“後期製作及上映”活動，所以整個工程的工期是16天。那麼另一個問題是所有活動最晚啟動的時間怎麼得到呢？

　　如上圖，我們再次使用藍色字型標出了每個活動的最晚開始時間。最晚開始時間需要使用最後一個活動的最早開始時間進行倒推。“後期製作及上映”最早16天時開始，最晚也應該是16天時開始，倒推回去“場景拍攝”最晚11天開始，因為“場景拍攝”需要進行5天后才能開始“後期製作及上映”。同樣地，像“導演確定”活動最晚開始時間推斷時會有歧義，因為“劇本完善”最晚8天時開始，而“導演確定”進行2天后就可以開始“劇本完善”了，也就是說“導演確定”最晚可以6天時開始；“演職人員確定”最晚7天時開始，而“導演確定”進行4天后可以開始“演職人員確定”，因此導演確定最晚3天時開始；顯然我們應該取6天和3天中的最小值，也就是說最晚3天時開始“導演確定”活動。現在我們可以得到那些工序是有冗餘時間的了。

　　如上圖，我們用橙色數字在弧的下方註明了每一項活動進行的冗餘時間，如“投資確定”活動到“場地確認”活動中，投資確定最早2天開始，“場地確認”最晚8天開始，那麼開始“場地確認”活動前進行的“投資確定”活動的進行時間最多6天，實際只需要一天，因此有5天的冗餘時間。我們可以發現在整個AOE網中有很多活動的冗餘時間是0，也就是說這些活動必須準點開始準點結束，它們的任何延期都會影響整個工程的最終完成時間，這些冗餘時間為0的路徑就可以稱為工程的關鍵路徑。