1.線性篩

尤拉計劃第7題

10001st prime

Problem 7

By listing the first six prime numbers: 2, 3, 5, 7, 11, and 13, we can see that the 6th prime is 13.

What is the 10 001st prime number?

#include <stdio.h>
#define MAX_N 200000
​
int prime[MAX_N + 5] = {0};
void init() {
    for (int i = 0; i < MAX_N; i++) {
        
 
if (prime[i]) continue;
        prime[++prime[0]] = i;
        for (int j = i; j <= MAX_N / i; j++) {
            prime[j * i] = 1;
        }
    }
    return;
}
​
int main() {
    init();
    printf("%d\n", prime[10001]);
    return 0;
}

#include <stdio.h>
#define MAX_N 100
​
int prime[MAX_N + 5
 
] = {0};
​
void init() {
    // i等價於M
    for (int i = 2; i <= MAX_N; i++) {
        if (!prime[i]) prime[++prime[0]] = i;
        // j表示素數表中每一個素數下標
        for (int j = 1; j <= prime[0]; j++) {
            if (prime[j] * i > MAX_N) break;
            // prime[j]等價於P,prime[j] * i等價於N
            prime[prime[j] * i] = 1
 
;
            if (i % prime[j] == 0) break;
        }
    }
}
​
int main() {
    init();
    for (int i = 2; i < prime[0]; i++) {
        printf("%d\n",prime[i]);
    }
    return 0;
}

關鍵之處在：if(i%prime[j]==0) break;

這句程式碼保證了每個數最多被篩一次，將時間複雜度降到了線性。

證：prime[]陣列中的素數是遞增的,當i能整除prime[j]，那麼i*prime[j+1]這個合數肯定會被prime[j]乘以某個數篩掉。因此，這裡直接break掉，將iprime[j+1]及之後的給後面的數去篩。這種方法能保證每個數只被篩一遍，又能保證每個數都被篩到。

為了更好的理解，畫出前面幾次篩的情況

從圖上我們看到，第一列篩掉的是最小素因子是2的數，第二列篩掉的是最小素因子為3的數，依次類推，可以把所有的合數都篩掉。

因為是按照最小素因子篩選，每個數的最小素因數只有一個，所以可以保證每個數都只會被篩一遍。

例如，i=6 時，第一個素數是2，能整除，篩掉12後就break；至於第二個素數3，6x3中的最小素因數肯定是前一個素數2，所以它要到 i=9，素數取2時才被篩掉。

上面的這種 線性篩法 也稱為 Euler 篩法 （尤拉篩法）。

尤拉篩的速度大概是埃氏的3~4倍，然而在小資料中卻有被完爆的可能（因為埃氏篩cache友好？）

100以內數字因子個數

#include <stdio.h>
#define MAX_N 100
​
int prime[MAX_N + 5] = {0};
int f[MAX_N + 5] = {0};
int cnt[MAX_N + 5] = {0};
​
void init() {
    for (int i = 0; i <= MAX_N; i++) {
        if (!prime[i]) {
            prime[++prime[0]] = i;
            f[i] = 2;
            cnt[i] = 1;
        }
        for (int j = 1; j <= prime[0]; j++) {
            if (prime[j] * i > MAX_N) break;
            prime[prime[j] * i] = 1;
            if (i % prime[j] == 0) {
                f[i * prime[j]] = f[i] / (cnt[i] + 1)*(cnt[i] +2);
                cnt[i * prime[j]] = cnt[j] + 1;
                break;
            }
            else
            {
                f[i * prime[j]] = f[i] * f[prime[j]];
                cnt[i * prime[j]] = 1;
            }
        }
    }
    return;
}
​
int main() {
    init();
    for (int i = 2; i <= MAX_N; i++) {
        printf("f[%d]=%d\n",i,f[i]);
    }
    return 0;
}