給定一個長度為$n$的陣列$a_{1\sim n}$，定義$f(i,x)=\begin{cases}x\%a_i+f(i+1,x\%a_i)&(i < n)\\x\%a_n&(i=n)\end{cases}$。對所有正整數$x$，求$f(1,x)$的最大值。

點此看題面

• 給定一個長度為\(n\)的陣列\(a_{1\sim n}\)，定義\(f(i,x)=\begin{cases}x\%a_i+f(i+1,x\%a_i)&(i<n)\\x\%a_n&(i=n)\end{cases}\)。
• 對所有正整數\(x\)，求\(f(1,x)\)的最大值。
• \(n\le2\times10^5,a_i\le10^{13}\)

尋找關鍵點

容易發現，如果\(x\)在模過\(a_{1\sim i}\)之後不為\(0\)，那麼\(x-1\)在模\(a_{1\sim i}\)的過程中始終恰好比\(x\)小\(1\)。

也就是說，我們可以寫出一個函式\(i\times x+b\)

表示模\(a_i\)餘\(1\sim Mx\)的數一種可能的貢獻，並把\(Mx\)稱作一個關鍵點。

那麼每\(DP\)到一個位置\(i\)，原本的關鍵點依然是關鍵點（可能要經過取模），而\(a_{i}-1\)則成為了一個新的關鍵點。

又由於一個數取模一次至少會減半，一個關鍵點最多取模\(O(logV)\)次，所以即便我們每次列舉關鍵點暴力取模，總共也只會有\(O(nlogV)\)次操作。

動態規劃

設\(f_{i,x}\)表示當前\(DP\)到第\(i\)位，對於關鍵點\(x\)，函式\(i\times x+b\)中\(b\)的最大值。

轉移只需找出大於等於\(a_i\)的那些關鍵點，分別考慮它們取模後的變化以及對新關鍵點\(a_{i}-1\)

的貢獻，得到：

\[f_{i,x\%a_i}=f_{i-1,x}+(i-1)\times(x-x\%a_i)\\ f_{i,a_i-1}=f_{i-1,x}+(i-1)\times(\lfloor\frac{x-(a_i-1)}{a_i}\rfloor\times a_i) \]

本題中可以使用\(map\)優化。

程式碼：\(O(nlognlogV)\)

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Rg register
#define RI Rg int
#define Cn const
#define CI Cn int&
#define I inline
#define W while
#define N 200000
#define LL long long
using namespace std;
int n;LL a[N+5];map<LL,LL> P;map<LL,LL>::iterator it;
int main()
{
	RI i;for(scanf("%d",&n),i=1;i<=n;++i) scanf("%lld",a+i);
	for(P[a[1]-1]=0,i=2;i<=n;++i) for(it=P.lower_bound(a[i]);it!=P.end();P.erase(it++))//列舉大於等於a[i]的關鍵點
		P[it->first%a[i]]=max(P[it->first%a[i]],it->second+(i-1)*(it->first-it->first%a[i])),//考慮取模後的變化
		P[a[i]-1]=max(P[a[i]-1],it->second+(i-1)*((it->first-(a[i]-1))/a[i]*a[i]));//考慮對新關鍵點a[i]-1的貢獻
	LL t=0;for(it=P.begin();it!=P.end();++it) t=max(t,n*it->first+it->second);return printf("%lld\n",t),0;//列舉所有關鍵點統計最終答案
}
 

敗得義無反顧，弱得一無是處