二叉樹與 B 樹

二叉樹的問題分析

二叉樹的操作效率較高，但是也存在問題, 請看下面的二叉樹

1)二叉樹需要載入到記憶體的，如果二叉樹的節點少，沒有什麼問題，但是如果二叉樹的節點很多(比如 1 億)， 就

存在如下問題:

2)問題 1：在構建二叉樹時，需要多次進行 i/o 操作(海量資料存在資料庫或檔案中)，節點海量，構建二叉樹時，

速度有影響

3)問題 2：節點海量，也會造成二叉樹的高度很大，會降低操作速度.

多叉樹

1)在二叉樹中，每個節點有資料項，最多有兩個子節點。如果允許每個節點可以有更多的資料項和更多的子節點，

就是多叉樹（multiway tree）

2)後面我們講解的 2-3 樹，2-3-4 樹就是多叉樹，多叉樹通過重新組織節點，減少樹的高度，能對二叉樹進行優化。

3)舉例說明(下面 2-3 樹就是一顆多叉樹)

B 樹的基本介紹

B 樹通過重新組織節點，降低樹的高度，並且減少 i/o 讀寫次數來提升效率

1)如圖 B 樹通過重新組織節點， 降低了樹的高度.

2)檔案系統及資料庫系統的設計者利用了磁碟預讀原理，將一個節點的大小設為等於一個頁(頁得大小通常為 4k)，

這樣每個節點只需要一次 I/O 就可以完全載入

3)將樹的度 M 設定為 1024，在 600 億個元素中最多隻需要 4 次 I/O 操作就可以讀取到想要的元素, B 樹(B+)廣泛

應用於檔案儲存系統以及資料庫系統中

2-3 樹

2-3 樹是最簡單的 B 樹結構, 具有如下特點:

1)2-3 樹的所有葉子節點都在同一層.(只要是 B 樹都滿足這個條件)

2)有兩個子節點的節點叫二節點，二節點要麼沒有子節點，要麼有兩個子節點.

3)有三個子節點的節點叫三節點，三節點要麼沒有子節點，要麼有三個子節點.

4)2-3 樹是由二節點和三節點構成的樹。

2-3 樹應用案例

將數列{16, 24, 12, 32, 14, 26, 34, 10, 8, 28, 38, 20} 構建成 2-3 樹，並保證資料插入的大小順序。

插入規則:

1)2-3 樹的所有葉子節點都在同一層.(只要是 B 樹都滿足這個條件)

2)有兩個子節點的節點叫二節點，二節點要麼沒有子節點，要麼有兩個子節點.

3)有三個子節點的節點叫三節點，三節點要麼沒有子節點，要麼有三個子節點

4)當按照規則插入一個數到某個節點時，不能滿足上面三個要求，就需要拆，先向上拆，如果上層滿，則拆本層，

拆後仍然需要滿足上面 3 個條件。

5)對於三節點的子樹的值大小仍然遵守(BST 二叉排序樹)的規則

234 樹

概念和 23 樹類似，也是一種 B 樹。 如圖:

B 樹、B+樹和 B*樹

B 樹的介紹

B-tree 樹即 B 樹，B 即 Balanced，平衡的意思。有人把 B-tree 翻譯成 B-樹，容易讓人產生誤解。會以為 B-樹

是一種樹，而 B 樹又是另一種樹。實際上，B-tree 就是指的 B 樹。

前面已經介紹了 2-3 樹和 2-3-4 樹，他們就是 B 樹(英語：B-tree 也寫成 B-樹)，這裡我們再做一個說明，我們在學

習 Mysql 時，經常聽到說某種型別的索引是基於 B 樹或者 B+樹的，如圖:

對上圖的說明:

1) B 樹的階：節點的最多子節點個數。比如 2-3 樹的階是 3，2-3-4 樹的階是 4

2)B-樹的搜尋，從根結點開始，對結點內的關鍵字（有序）序列進行二分查詢，如果命中則結束，否則進入查詢

關鍵字所屬範圍的兒子結點；重複，直到所對應的兒子指標為空，或已經是葉子結點

3)關鍵字集合分佈在整顆樹中, 即葉子節點和非葉子節點都存放資料.

4)搜尋有可能在非葉子結點結束

5)其搜尋效能等價於在關鍵字全集內做一次二分查詢

B+樹的介紹

B+樹是 B 樹的變體，也是一種多路搜尋樹。

對上圖的說明:

1)B+樹的搜尋與 B 樹也基本相同，區別是 B+樹只有達到葉子結點才命中（B 樹可以在非葉子結點命中），其性

能也等價於在關鍵字全集做一次二分查詢

2)所有關鍵字都出現在葉子結點的連結串列中（即資料只能在葉子節點【也叫稠密索引】），且連結串列中的關鍵字(資料)

恰好是有序的。

3)不可能在非葉子結點命中

4)非葉子結點相當於是葉子結點的索引（稀疏索引），葉子結點相當於是儲存（關鍵字）資料的資料層

5)更適合檔案索引系統

6)B 樹和 B+樹各有自己的應用場景，不能說 B+樹完全比 B 樹好，反之亦然.

B*樹的介紹

B*樹是 B+樹的變體，在 B+樹的非根和非葉子結點再增加指向兄弟的指標。

B*樹的說明:

1)B*樹定義了非葉子結點關鍵字個數至少為(2/3)*M，即塊的最低使用率為 2/3，而 B+樹的塊的最低使用率為的1/2。

2)從第 1 個特點我們可以看出，B*樹分配新結點的概率比 B+樹要低，空間使用率更高