題意

有 \(n\) 個點，\(m\) 種加邊的方法，每種方法給定 \(a_i\) 和 \(c_i\),可將 \(x\) 與\((x+a_i)\bmod n\) 連邊，其中 \(x\in[0,n)\)，代價為 \(c_i\)。求使 \(n\) 個點連通的最小代價。

題解

要使圖連通且代價最小，最終一定是一棵樹，只需要求 MST 就行了。

類似 Kruskal 演算法，我們可以把 \(m\) 種方法按 \(c_i\) 排序，然後用第 \(1,2…m\) 種方法一直連邊，直到不能連為止，這樣一定是最優的。但由於 \(n\) 很大，所以需要再優化。

設 \(x_i\) 表示用前 \(i\) 種方法連邊連完後所形成的連通分量的個數，則 \(x_{i-1}-\ x_i\)

考慮如何求出 \(x_i\)。

轉化一下連邊的方法。使用前 \(i\) 種方法時，點 \(v\) 能與 \(u\) 在同一連通分量內當且僅當\(\exists\) \(k_1,k_2,…,k_i\in\mathbb{Z}\) 使得

設 \(d_i=\gcd(n,a_1,a_2,…,a_i)\)

則 \(u=v+kd_i \Leftrightarrow u \equiv v (\bmod\ d_i)\)

所以 \(n\) 個點按模 \(d_i\) 的餘數分成了 \(d_i\) 個連通分量，\(x_i=d_i\)。

然後將 \(x_i\) 帶入原式即可求解,
若 \(x_m\) 不等於 \(1\),則無解。