今天我來聊聊函式的幾個特性。

函式的單調性

函式的單調性跟我們初中強調的東西很像。不提初中的東西了，上高中的概念。

\[\forall x_1,x_2\in I , x_1 < x_2 \]

有

\[f(x_1) < f(x_2) (f(x_1) > (x_2)) \]

則 \(f(x)\) 在 \(I\) 上遞增（減）。

這應該很好理解吧？

\(f(x)\)在\(I\)上遞增也可以表示為

\[\forall x_1,x_2\in I,x_1\ne x_2,\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2} > 0 \]

或

\[\forall x_1,x_2\in I,x_1\ne x_2,(x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)] > 0 \]

1.定義法

對 \(f(x_1)-f(x_2)\) 進行代數變形，之後學了導數會得心應手。

2.運演算法

（下面增函式簡稱\(z\)，減函式簡稱\(j\)）

\[z+z=z \]\[j+j=j \]\[z/j*\mathbb{R}^+=z/j \]\[z/j*\mathbb{R}^-=j/z \]

3.複合函式的單調性

複合函式的單調性滿足同增異減。

函式的奇偶性

如果自變數取相反數，函式值不變，則為偶函式；函式值也變為相反數，則為奇函式 。

定義在\(D\)上的函式\(f(x)\)為奇函式（奇函式關於原點對稱）

\[\forall x\in D,f(-x)=-f(x) \]

這個應該很好理解，取相反數嗎，下面來看看怎麼判斷奇偶性。

1.定義法

定義域對稱的話，直接將\(f(-x)\)向\(f(x)\)方向變形。對於比較複雜的函式，先取一對特殊值判斷出可能的奇偶性，再直接計算\(f(-x)+f(x)\)或\(f(-x)-f(x)\)的值。

2.影象法

看數學語言的括號內寫的什麼。

3.運演算法

（下面奇函式簡稱\(j\)，偶函式簡稱\(o\)）

\[j/o\pm j/o=j/o \]\[j/o*j/o=o \]\[j*o=j \]

4.奇偶性的複合：定義域滿足條件下，有偶則偶，無偶則奇。

函式的對稱性

這個東西今天聊一半，咱們今天只聊軸對稱函式。

函式 \(f(x)\) 的影象關於 \(x=a\) 軸對稱，當且僅當 \(f(a+x)=f(a-x)\)

對定義域內的 \(x\) 恆成立。即自變數的和為 \(2a\) 時，函式值相等。函式 \(f(x)\) 的影象關於 \(x=a\) 對稱，與函式 \(y=f(x+a)\) 是偶函式等價。偶函式是特殊的軸對稱函式。

好的，今天我們就先聊到這裡